Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Đa giác. Đa giác đều

Bài 1.2 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: a) Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh MNP là tam giác đều.

b) Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông (tứ giác đều).

c) Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.

Lời giải:

a) Ta có: M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC

Nên MN là đường trung bình của Δ ABC

⇒ MN = $\frac{1}{2}$AB

Ta có: P là trung điểm của AB; M là trung điểm BC nên MP là đường trung bình của Δ ABC

⇒ MP = $\frac{1}{2}$AC

Tương tự, NP là đường trung bình của Δ ABC

⇒ NP = $\frac{1}{2}$BC.

Mà AB = BC = AC (vì tam giác ABC đều)

Do đó MN = MP = NP. Vậy Δ MNP đều.

b) Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC = CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM

$\widehat{A}=\widehat{B}$ = 90^o

AP = BQ

Do đó: Δ APQ = Δ BQM (c.g.c)

⇒ PQ = QM (1)

Xét Δ BQM và Δ CMN:

BM = CN

$\widehat{B}=\widehat{C}$= 90^o

BQ = CM

Do đó: Δ BQM = Δ CMN (c.g.c)

⇒ QM = MN (2)

Xét Δ CMN và Δ DNP:

CN = DP

$\widehat{C}=\widehat{D}$= 90^o

CM = DN

Do đó: Δ CMN = Δ DNP (c.g.c)

⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

MN = NP = PQ = QM.

Suy ra:  tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên Δ APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên Δ BMQ vuông cân tại B

Do đó: $\widehat{AQP}=\widehat{BQM}$ = 45^o

Lại có:

$\widehat{AQP}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{PQM}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{BQM}$ = 180^o (kề bù)

⇒$\widehat{PQM}={180}^0-\left(\widehat{AQP}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{BQM}\right)$

= 180^o - (45^o + 45^o) = 90^o

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

c)

Xét Δ ABC và Δ BCD:

AB = BC (vì ABCDE là ngũ giác đều)

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (vì ABCDE là ngũ giác đều)

BC = CD ( vì ABCDE là ngũ giác đều).

Do đó: Δ ABC = Δ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Tương tự, xét Δ BCD và Δ CDE:

BC = CD

$\widehat{C}=\widehat{D}$

CD = DE

Do đó: Δ BCD = Δ CDE (c.g.c)

⇒ BD = CE (2)

Xét Δ CDE và Δ DEA:

CD = DE

$\widehat{D}=\widehat{E}$

DE = EA

Do đó: Δ CDE = Δ DEA (c.g.c)

⇒ CE = DA (3)

Xét Δ DEA và Δ EAB:

DE = EA

$\widehat{E}=\widehat{A}$

EA = AB

Do đó: Δ DEA = Δ EAB (c.g.c)

⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

AC = BD = CE = DA = EB

Trong Δ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = $\frac{1}{2}$AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = $\frac{1}{2}$BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong Δ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = $\frac{1}{2}$CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong Δ DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = $\frac{1}{2}$DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong Δ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = $\frac{1}{2}$EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:

MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có:

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=\widehat{E}$ 

= $\frac{(\text{}5-2){.180}^0}{5}$ = 108^o

Vì Δ DPN cân tại D

 $$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{DPN}=\widehat{DNP}=\frac{{180}^0-\widehat{D}}{2} \\ =\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0 \end{gathered}$$

Vì Δ CNM cân tại C

$$\begin{gathered} \widehat{\Rightarrow CNM}=\widehat{CMN}=\frac{{180}^0-\widehat{D}}{2} \\ =\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0 \end{gathered}$$

Mà $\widehat{DNP}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{PNM}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{CNM}={180}^0$

⇒ $\widehat{PNM}={180}^0-(\text{\hspace{0.17em}}\widehat{DNP}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{CNM})$

=180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Vì Δ BMR cân tại B

 $$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{BMR}=\widehat{BRM}=\frac{{180}^0-\widehat{B}}{2} \\ =\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0 \end{gathered}$$

Mà:

$\begin{array}{l}\widehat{CMN}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{NMR}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{BMR}={180}^0\\ \Rightarrow \widehat{NMR}={180}^0-(\widehat{CMN}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{BMR})\end{array}$

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Vì Δ ARQ cân tại A

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{A\text{}RQ}=\widehat{AQR}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2} \\ =\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0 \end{gathered}$$

Mà $\widehat{BRM}\text{\hspace{0.17em}}+\widehat{MRQ}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{AR\text{}Q}={180}^0$

⇒ $\widehat{MRQ}\text{\hspace{0.17em}}={360}^0-\left(\widehat{BR\text{}M}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{AR\text{}Q}\right)$

=180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Vì Δ QEP cân tại E

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{EQP}=\widehat{EPQ}=\frac{{180}^0-\widehat{E}}{2} \\ =\frac{{180}^0-{108}^0}{2}={36}^0 \end{gathered}$$

Mà $\widehat{AQR}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{R\text{}QP}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{EQP}={180}^0$

⇒ $\widehat{RQP}={180}^0-\text{\hspace{0.17em}}\left(\widehat{A\text{}QR}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{EQP}\right)$

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Mà $\widehat{EPQ}+\widehat{QPN}+\widehat{DPN}={180}^0$

⇒ $\widehat{QPN}={180}^0-(\widehat{EPQ}+\widehat{DPN})$

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108

Suy ra:

 $$\begin{gathered} \widehat{PNM}=\widehat{NMR}=\widehat{MRQ} \\ =\widehat{RQP}=\widehat{QPN} \end{gathered}$$

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Trong các hình dưới đây hình nào là đa giác lồi? Vì sao?...

Bài 2 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Hình vẽ bên. Hãy vẽ một đa giác lồi mà các đỉnh là một trong các điểm đã cho trong hình...

Bài 3 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Em hãy kể tên một số đa giác đều mà em biết...

Bài 4 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng số đo của một hình n-giác đều là...

Bài 5 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Tính số đo của hình 8 cạnh đều, 10 cạnh đều, 12 cạnh đều...

Bài 6 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: a) Vẽ hình và tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác...

Bài 7 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm số đường chéo của hình 8 cạnh, 10 cạnh, 12 cạnh...

Bài 8 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác (lồi) có số đo bằng 360^o...

Bài 9 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Đa giác nào có tổng số đo các góc trong bằng tổng số đo các góc ngoài?...

Bài 10 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Một đa giác (lồi) có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn?...

Bài 11 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của đa giác đó bằng 468°...

Bài 1.1 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Mỗi câu sau đây đúng hay sai ?...

Bài 1.3 trang 157 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có AB = 3cm Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = 1cm...