Giải Toán 7 trang 81 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 7 trang 81 Tập 2

Luyện tập 2 trang 81 Toán 7 Tập 2:

a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Lời giải:

a)

 

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của BC (1)

Do $∆$ABC cân tại A nên AB = AC (tính chất tam giác cân)

Do đó A nằm trên đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC nên AM ⊥ BC.

Vì vậy AM là đường cao của tam giác ABC.

Xét $∆$ABM và $∆$ACM có:

AB = AC (do $∆$ABC cân tại A),

AM là cạnh chung

BM = CM (do M là trung điểm của BC),

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (hai góc tương ứng)

Nên AM là tia phân giác của góc BAC.

Vậy đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

b)

 

Giả sử $∆$ABC đều có O là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Suy ra O là giao điểm của ba đường trung trực của $∆$ABC.

Hay AO, BO, CO lần lượt là đường trung trực của các cạnh BC, AC, AB.

Do $∆$ABC đều nên $∆$ABC cân tại A.

Do đó theo câu a), ba đường trung trực AO, BO, CO của các cạnh BC, AC, AB lần lượt là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C của DABC.

Mà ba đường phân giác AO, BO, CO cắt nhau tại O nên O cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

B. Bài tập

Bài 9.26 trang 81 Toán 7 Tập 2:

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.

Lời giải:

 

Gọi I, J, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét DHBC có HI ⊥ BC, CJ ⊥ BH.

Mà HI cắt CJ tại A nên A là trực tâm của $∆$HBC.

Xét $∆$HCA có HJ ⊥ AC, CI ⊥ AH.

Mà HJ cắt CI tại B nên B là trực tâm của $∆$HCA.

Xét $∆$HAB có HK ⊥ AB, BI ⊥ AH.

Mà HK cắt BI tại C nên C là trực tâm của $∆$HAB.

Bài 9.27 trang 81 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ = 100^o và trực tâm H. Tính góc BHC.

Lời giải:

 

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Ta có $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{F\text{A}H}$ (2 góc đối đỉnh), $\widehat{DAC}=\widehat{EAH}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó $\widehat{BA\text{D}}+\widehat{DAC}=\widehat{F\text{AH}}+\widehat{EAH}$ = 100°.

Xét $∆$FAH vuông tại F có $\widehat{FHA}+\widehat{F\text{A}H}$ = 90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{FHA}=90°-\widehat{F\text{A}H}$.

Xét $∆$EAH vuông tại E: $\widehat{EHA}+\widehat{\text{EA}H}$ = 90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{EHA}=90°-\widehat{\text{EA}H}$.

Khi đó $\widehat{FHA}+\widehat{EHA}=90°-\widehat{F\text{A}H}+90°-\widehat{E\text{A}H}$

Hay $\widehat{BHC}=180°-\left(\widehat{F\text{A}H}+\widehat{E\text{AH}}\right)$.

Do đó $\widehat{BHC}$ = 180° - 100° = 80°.

Vậy $\widehat{BHC}$ = 80°.

Bài 9.28 trang 81 Toán 7 Tập 2:

Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Lời giải:

 

Giả sử O nằm trên cạnh BC của $∆$ABC, khi đó OA = OB = OC (do O cách đều ba đỉnh của tam giác).

Vì OA = OB nên $∆$OAB cân tại O.

Suy ra, $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (tính chất tam giác cân).

Vì OA = OC nên $∆$OAC cân tại O

Suy ra, $\widehat{OAC}=\widehat{OC\text{A}}$ (tính chất tam giác cân).

Khi đó $\widehat{OAB}+\widehat{OAC}=\widehat{OBA}+\widehat{OC\text{A}}$ hay $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$.

Xét $∆$ABC ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $2\widehat{A}=180°$

Nên $\widehat{A}=180°:2=90°$.

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC và O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Bài 9.29 trang 81 Toán 7 Tập 2:

a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?

 

b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.

Lời giải:

a)

 

Để xác định bán kính của đường viền này ta thực hiện như sau:

Bước 1. Xác định 3 điểm A, B, C nằm trên đường viền ngoài của chi tiết máy.

Bước 2. Xác định các đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 3. Xác định giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bước 4. Độ dài đoạn thẳng OA (hoặc OB hoặc OC) là bán kính của đường tròn.

 

b) Coi ba điểm A, B, C là ba đỉnh của tam giác ABC.

Do M cách đều ba đỉnh A, B, C nên M là giao điểm ba đường trung trực của $∆$ABC.

Vậy M là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 9.30 trang 81 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47).

 

Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.

Lời giải:

Ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng b và cắt đường thẳng c tại một điểm. Điểm này chính là điểm C.

 

Bước 2. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng c và cắt đường thẳng b tại một điểm. Điểm này chính là điểm B.

 

Bước 3. Nối hai điểm B, C ta được tam giác ABC.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 7 trang 77 Tập 2

Giải Toán 7 trang 78 Tập 2

Giải Toán 7 trang 79 Tập 2

Giải Toán 7 trang 81 Tập 2

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Luyện tập chung trang 83

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ

Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Luyện tập chung trang 14, 15