Giải Toán 7 trang 76 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải Toán 7 trang 76 Tập 2

Bài 9.20 trang 76 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Lời giải:

 

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = $\frac{2}{3}$BN; CG = $\frac{2}{3}$CP.

Hay $\frac{BG}{BN}=\frac{2}{3}$ và $\frac{CG}{CP}=\frac{2}{3}$

• Từ $\frac{BG}{BN}=\frac{2}{3}$ suy ra $\frac{BG}{BN-BG}=\frac{2}{3-2}$

Do đó $\frac{BG}{GN}=\frac{2}{1}$ hay BG = 2GN.

• Từ $\frac{CG}{CP}=\frac{2}{3}$ suy ra $\frac{CG}{CP-CG}=\frac{2}{3-2}$ 

Do đó $\frac{CG}{GP}=\frac{2}{1}$ hay CG = 2GP.

Vậy BG = $\frac{2}{3}$BN, CG = $\frac{2}{3}$CP, BG = 2GN, CG = 2GP.

Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải:

 

Giả sử $∆$ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

a) Do $∆$ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$AB;

Vì N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AM = AN

Xét $∆$ANB và $∆$AMC có:

AM = AN (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ là góc chung

AB = AC (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ANB = $∆$AMC (c.g.c).

Do đó BN = MC (hai cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Giả sử $∆$ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.

 

Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến BN và CM của tam giác ABC nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó CG = $\frac{2}{3}$CM, BG = $\frac{2}{3}$BN.

Mà CM = BN (giả thiết) nên CG = BG.

$∆$BGC có CG = BG nên $∆$BGC cân tại G.

Suy ra $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$ (tính chất tam giác cân)

Xét $∆$BMC và $∆$CNB có:

MC = NB (theo giả thiết),

$\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (do $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$),

BC là cạnh chung.

Do đó $∆$BMC = $∆$CNB (c.g.c).

Suy ra $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (hai góc tương ứng).

$∆$ABC có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $∆$ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Bài 9.22 trang 76 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.

Lời giải:

 

Vì G là trọng tâm của  $∆$ABC nên CG = $\frac{2}{3}$CN, BG = $\frac{2}{3}$BM.

Xét $∆$GBC có $\widehat{GBC}>\widehat{GCB}$ nên GC > GB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

Khi đó $\frac{2}{3}$CN > $\frac{2}{3}$BM.

Suy ra CN > BM.

Vậy CN > BM.

Bài 9.23 trang 76 Toán 7 Tập 2:

Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC biết góc BAC bằng 120°.

Lời giải:

 

Xét $∆$ABC có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°-\widehat{B\text{AC}}$ = 180° - 120° = 60°.

Do BI là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$.

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACB}=2\widehat{ICB}$.

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$.

Hay 60^o = 2$\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$.

Suy ra $\widehat{IBC}+\widehat{ICB}$ = 60° : 2 = 30°.

Xét $∆$IBC có $\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó $\widehat{BIC}=180°-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$ = 180° - 30° = 150°.

Vậy $\widehat{BIC}$ = 150°.

Bài 9.24 trang 76 Toán 7 Tập 2:

Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.

Lời giải:

 

Do BE là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat{EBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Do CF là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{FCA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do $∆$ABC cân tại A) nên $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$.

Xét $∆$AEB và $∆$AFC có:

$\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$ (chứng minh trên),

AB = AC ($∆$ABC cân tại A),

$\widehat{BAC}$ chung

Suy ra $∆$AEB = $∆$AFC (g.c.g)

Do đó CF = BE (hai cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

Bài 9.25 trang 76 Toán 7 Tập 2:

Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.

a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.

b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.

c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A?

Lời giải:

 

a) Vì D nằm trên tia phân giác BD của góc ABC nên D cách đều hai cạnh BA và BC.

Do đó DR = DP.

b) Vì D nằm trên tia phân giác CD của góc ACB nên D cách đều hai cạnh CB và CA.

Do đó DP = DQ.

c) Từ câu a và b ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.

Ta có D nằm trong góc BAC và D cách đều hai cạnh AB và AC của góc BAC nên D nằm trên tia phân giác của góc BAC.

Vậy D nằm trên tia phân giác của góc BAC.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải Toán 7 trang 72 Tập 2

Giải Toán 7 trang 73 Tập 2

Giải Toán 7 trang 74 Tập 2

Giải Toán 7 trang 75 Tập 2

Giải Toán 7 trang 76 Tập 2

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Luyện tập chung trang 83

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Tập hợp các số hữu tỉ

Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ