Cho hàm số f(x)=tan x khi 0 nhỏ hơn bằng x nhỏ hơn bằng pi/4 và f(x)=k-cotx

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Câu 14 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\mathrm{(x)} =\left\{\begin{array}{l}\tan x khi 0 <x\le \frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ k-cotx khi \frac{\mathrm{\pi }}{4}<x\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}\end{array}\right.$ liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$ Giá trị của k bằng

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. $\frac{\pi }{2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Để hàm số liên tục trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ thì hàm số liên tục tại điểm $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$, $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right).$

⦁ Hàm số liên tục tại điểm $x=\frac{\pi }{4}$ khi và chỉ khi $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{-}}{\lim }\tan x=\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{+}}{\lim }\left(k-\cot x\right)=f\left(\frac{\pi }{4}\right)$

$\iff \tan \frac{\pi }{4}=k-\cot \frac{\pi }{4}$ = $k-\cot \frac{\pi }{4}$ ⇔ k - 1 = 1 ⇔ k = 2

⦁ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$ ⇔ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\tan x$ = tan0 ⇔ tan0 = tan0 (luôn đúng)

⦁ $\underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)$$\iff \underset{x\to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\lim }\left(k-\text{cot}x\right)=k-\text{cot}\frac{\pi }{2}$$\iff k-\text{cot}\frac{\pi }{2}=k-\text{cot}\frac{\pi }{2}$ (luôn đúng)

Vậy k = 2.