Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Hai đường thẳng vuông góc

    Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

    1 419 01/11/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

    Bài 1 trang 50 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

    Lời giải:

    Cho tứ diện đều ABCD M là trung điểm của cạnh BC Tính góc giữa AB và DM

    Cho N là trung điểm của cạnh AC.

    ⇒ MN là đường trung trực của ∆ABC.

    ⇒ MN // AB ⇔ (AB, DM) = (MN, DM) = DMN^ .

    Lại có: ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều (theo giả thiết).

    Giả sử ABCD là tứ diện đều cạnh a.

    ⇒ DM = DN = a32 ; MN = AB2 = a2.

    Áp dụng định lý hàm cos trong ∆DMN, ta có:

    cosDMN^=DM2+MN2−DN22.DM.MN=36.

    Do đó (AB, DM) = DMN^ ≈ 73,22°.

    Bài 2 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy là hình thoi cạnh a, SA = a3, SA ⊥ AC, SA ⊥ BC, BAD^= 120°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

    a) SD và BC.

    b) MN và SC.

    Lời giải:

    Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a SA =a căn bậc hai 3 SA ⊥ AC

    a) Ta có: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a SA =a căn bậc hai 3 SA ⊥ AC

    ⇒ SA ⊥ (ABCD) ⇔ SA ⊥ AD.

    Do BC // AD nên (BC, SD) = (AD, SD).

    tanADS^=SAAD=a3a=3

    Do đó BC,SD=ADS^ = 60°.

    b) Do MN // CD nên (SD, MN) = (SD, CD) = SCD^ .

    Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

    Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a SA =a căn bậc hai 3 SA ⊥ AC

    Áp dụng định lí hàm cos trong ∆SCD, ta có:

    cosSCD^=SC2+CD2−SD22 . SC . CD=(2a)2+a2−(2a)22 . 2 . a . a=14.

    Do đó (SD, MN) = ≈ 75,52°.

    Bài 3 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC.

    a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

    b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

    Lời giải:

    Cho tứ diện ABCD có AB = CD AC = BD AD = BC

    a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC.

    Xét ∆BAD và ∆CDA, ta có:

    Cho tứ diện ABCD có AB = CD AC = BD AD = BC

    Do đó ∆BAD = ∆CDA (c.c.c)

    Ta có BE = CE (2 đường trung tuyến ứng với cạnh AD).

    Suy ra ∆BEC cân tại E nên EF ⊥ BC.

    Chứng minh tương tự, ta có: EF ⊥ AD.

    Vậy đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

    b)Gọi G, H lần lượt là các trung điểm của 2 cạnh AB và CD.

    Theo tính chất đường trung bình, ta có:

    Cho tứ diện ABCD có AB = CD AC = BD AD = BC⇒ EH = GF = EG = HF

    Khi đó, EHFG là hình thoi, suy ra EF ⊥ GH.

    Vậy hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

    Bài 4 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của SA, SD, SC và BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

    a) IJ và DC;

    b) MN và IJ.

    Lời giải:

    Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N I J lần lượt là

    a) Ta có: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N I J lần lượt là

    ⇒(IJ,CD)=(SB,AB)=SBA^.

    Từ giả thiết, ta có ∆SAB là tam giác đều.

    ⇒(IJ,CD)=SBA^=60°.

    b)Ta có: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N I J lần lượt là

    ⇒(IJ,MN)=(SB,BC)=SBC^.

    Từ giả thiết, ta có ∆SBC là tam giác đều.

    Do đó (IJ,  MN)=SBC^=60° .

    Bài 5 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

    Lời giải:

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

    Giả sử điểm H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A xuống mặt phẳng đáy.

    Xét ∆AHB, ∆AHC và ∆AHD:

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

    ⇒ ∆AHB, ∆AHC và ∆AHD là các tam giác bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

    ⇒ BH = CH = DH ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

    ⇒ H ≡ O⇔ AO là đường cao của tứ diện ABCD.

    ⇒ OA ⊥ CD.

    Vậy hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

    Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

    1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

    Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b), là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

    Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ 00 đến 900.

    2. Hai đường thẳng vuông góc

    Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu a⊥b, nếu góc giữa chúng bằng 900.

    Sơ đồ tư duy Hai đường thẳng vuông góc

    Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 2)

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

    Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

    Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 4: Khoảng cách trong không gian

    Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

    Bài tập cuối chương 8

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 419 01/11/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: