Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1 trang 149 SBT Toán 11 Tập 1: Nhân ngày hội đọc sách, các học sinh của một trường trung học phổ thông mang sách cũ đến tặng thư viện trường và trao đổi với các bạn học sinh khác. Bảng sau thống kê số sách cũ mà các bạn học sinh lớp 11B mang đến trường.

Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Bảng số liệu ghép nhóm hiệu chỉnh như sau:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\overline{x}=\frac{2\cdot 5+5\cdot 14+8\cdot 10+11\cdot 8+14\cdot 3}{5+14+10+8+3}$ = $\frac{290}{40}$=7,25.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [3,5; 6,5).

Do đó, u_m = 3,5; n_m‒1 = 5; n_m = 14; n_m+1 = 10; u_{m + 1} ‒ u_m = 6,5 ‒ 3,5 = 3.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_O=3,5+\frac{14-5}{\left(14-5\right)+\left(14-10\right)}\cdot 3$ = $3,5+\frac{27}{13}$ = $\frac{72,5}{13}\approx 5,58$.

Bài 2 trang 149 SBT Toán 11 Tập 1: Một kĩ thuật viên ghi lại cân nặng của 20 chi tiết máy ở bảng sau (đơn vị: gam):

a) Tính cân nặng trung bình của mỗi chi tiết máy.

b) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên với nhóm đầu tiên là [5,40; 5,45) và ước lượng số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

a) Cân nặng trung bình của mỗi chi tiết máy là:

(5,63 + 5,58 + 5,42 + 5,58 + 5,56 + 5,54 + 5,55 + 5,40 + 5,60 + 5,56 + 5,46 + 5,51 + 5,58 + 5,48 + 5,61 + 5,50 + 5,54 + 5,64 + 5,43 + 5,63) : 20 = 5,54 (g).

b) Bảng số liệu ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho như sau:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\overline{x}=\frac{5,425\cdot 3+5,475\cdot 2+5,525\cdot 4+5,575\cdot 6+5,625\cdot 5}{3+2+4+6+5}$ = 5,545 (g).

Bài 3 trang 149, 150 SBT Toán 11 Tập 1: Bảng sau thống kê số lượt chở khách mỗi ngày của một lái xe taxi trong 30 ngày.

a) Hãy tính số trung bình và mốt của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên với nhóm đầu tiên là [4,5; 7,5).

c) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Lời giải:

a) Ta có bảng tần số như sau:

Số trung bình mẫu số liệu là:

(5 + 6 + 7 + 8.2 + 9.2 + 10.2 + 11.3 + 12.3 + 13.7 + 14 + 15.2 + 16 + 17 + 18.2) : 30 = 11,7.

Mốt của mẫu số liệu là 13, do có tần số lớn nhất là 7.

b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho như sau:

c) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 4+9\cdot 6+12\cdot 13+15\cdot 4+18\cdot 3}{4+6+13+4+3}$ = $\frac{348}{30}$ = 11,6.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [10,5; 13,5).

Do đó, u_m = 10,5; n_m‒1 = 6; n_m = 13; n_m+1 = 4; u_{m + 1} ‒ u_m = 13,5 ‒ 10,5 = 3.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_O=10,5+\frac{13-6}{\left(13-6\right)+\left(13-4\right)}\cdot 3$ = $10,5+\frac{21}{16}$ = $11,8125\approx 11,8$.

Bài 4 trang 150 SBT Toán 11 Tập 1: Bảng sau thống kê cân nặng (đơn vị: kg) của một số con ngan đực 88 ngày tuổi ở một trang trại.

a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên với nhóm đầu tiên là [4,6; 4,7).

b) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

a) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x}=\frac{4,65\cdot 8+4,75\cdot 15+4,85\cdot 8+4,95\cdot 12+5,05\cdot 7}{8+15+8+12+7}$ = $\frac{242}{50}$ = 4,84.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [4,7; 4,8).

Do đó, u_m = 4,7; n_m‒1 = 8; n_m = 15; n_m+1 = 8; u_{m + 1} ‒ u_m = 4,8 ‒ 4,7 = 0,1.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_O=4,7+\frac{15-8}{\left(15-8\right)+\left(15-8\right)}\cdot 0,1$ = $4,7+\frac{0,7}{14}$ = 4,75.

Bài 5 trang 150 SBT Toán 11 Tập 1: Bảng sau thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của một số cây giống sau khi nảy mầm được 2 tuần.

Hãy ước lượng chiều cao trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện của các nhóm như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\overline{x}=\frac{6,45\cdot 10+6,95\cdot 21+7,45\cdot 28+7,95\cdot 12+8,45\cdot 9}{10+21+28+12+9}$ = $\frac{1181}{160}$ = $7,38125\approx 7,38$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là [7,2; 7,7).

Do đó, u_m = 7,2; n_m‒1 = 21; n_m = 28; n_m+1 = 12; u_{m + 1} ‒ u_m = 7,7 ‒ 7,2 = 0,5.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$M_O=7,2+\frac{28-21}{\left(28-21\right)+\left(28-12\right)}\cdot 0,5$ = $7,2+\frac{3,5}{23}$ = $\frac{1691}{230}\approx 7,35$.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 7,35

Bài 6 trang 150 SBT Toán 11 Tập 1: Thống kê lại thu nhập trong một tháng của nhân viên hai công ty A và B (đơn vị: triệu đồng) được thể hiện trong biểu đồ dưới đây.

Hãy so sánh thu nhập trung bình của nhân viên hai công ty theo số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải:

Ta lập bảng thống kê thu nhập của nhân viên hai công ty như sau:

⦁ Số trung bình thu thập trong một tháng của nhân viên công ty A là

${\overline{x}}_A=\frac{12\cdot 7+45\cdot 11+16\cdot 15+14\cdot 19+7\cdot 23}{12+45+16+14+7}$ = $\frac{623}{47}\approx 13,26$ (triệu đồng).

Số trung bình thu thập trong một tháng của nhân viên công ty B là

${\overline{x}}_B=\frac{16\cdot 7+40\cdot 11+29\cdot 15+15\cdot 19+12\cdot 23}{16+40+29+15+12}$ = $\frac{387}{28}\approx 13,82$ (triệu đồng).

Vậy nếu so sánh theo số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm thì thu nhập trung bình của nhân viên công ty A thấp hơn thu nhập trung bình của nhân viên công ty B.

• Ta ước lượng mốt của thu nhập của nhân viên công ty A:

Nhóm mốt của mẫu số liệu là nhóm [9; 13).

Do đó: u_m = 9; n_m‒1 = 12; n_m = 45; n_m+1 = 16; u_{m + 1} ‒ u_m = 13 ‒ 9 = 4.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_O=9+\frac{45-12}{\left(45-12\right)+\left(45-16\right)}\cdot 4$ = $\frac{345}{31}\approx 11,13$.

Ta ước lượng mốt của thu nhập của nhân viên công ty B:

Nhóm mốt của mẫu số liệu là nhóm [9; 13).

Do đó: u_m = 9; n_m‒1 = 16; n_m = 40; n_m+1 = 29; u_{m + 1} ‒ u_m = 13 ‒ 9 = 4.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

$M_O=9+\frac{40-16}{\left(40-16\right)+\left(40-29\right)}\cdot 4$ = $\frac{411}{35}\approx 11,74$.

Vậy nếu so sánh theo mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, thu nhập của nhân viên công ty A thấp hơn thu nhập của nhân viên công ty B.

Lý thuyết Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Số liệu ghép nhóm

- Mẫu số liệu ghép nhóm là thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau:

Bảng 1. Bảng tần số ghép nhóm

- Bảng trên gồm k nhóm $[u_i;u_{i+1})$ với $1\le j\le k$, mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo một tiêu chí xác định.

- Cỡ mẫu $n=n_1+...+n_k$

- Giá trị chính giữ mỗi nhóm được dùng làm giá trị đại diện.

- Hiệu $u_{i+1}-u_i$được gọi là độ dài của nhóm $[u_i;u_{i+1})$

• Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu

- Sử dụng từ $k=5$ đến $k=20$ nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì cần càng nhiều nhóm số liệu.

- Các nhóm có cùng độ dài bằng L thỏa mãn R<k, trong đó R là khoảng biến thiên, k là số nhóm.

- Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm$[u_1;u_2)$ và càng gần $u_1$ càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu thuộc nhóm $[u_k;u_{k+1})$ và càng gần $u_{k+1}$ càng tốt.

* Chú ý:

Các đầu mút của nhóm có thể không là giá trị của mẫu số liệu.

2. Số trung bình

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\overline{x}$ được tính như sau:

$\overline{x}=\frac{n_1{c}_1+...+n_k{c}_k}{n}$

Trong đó, $n=n_1+...+n_k$ là cỡ mẫu.

Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

3. Mốt

- Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn.

Giả sử nhóm chứa mốt là: $[u_m;u_{m+1})$.Khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $M_o$ được xác định bời công thức:

$M_o=u_m+\frac{n_m-n_{m-1}}{\left(n_m-n_{m-1}\right)+\left(n_m-n_{m+1}\right)}.\left(u_{m+1}-u_m\right)$

• Chú ý:

- Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì $n_{m-1}=0$. Nếu không có hóm kề sau của nhóm chứa mốt thì $n_{m+1}=0$.

- Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm $M_o$ xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị nằm xung quanh $M_o$ thường có khả năng xuất hiện cao hơ các giá trị khác.

- Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4 trang 132

Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 5 trang 160