Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Dãy số

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

1 573 01/11/2024

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{n + 1}{2 n + 1} .$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số?

Lời giải:

Ta có: $\frac{n + 1}{2 n + 1} = \frac{8}{15}$

Suy ra 15(n + 1) = 8(2n + 1), hay 15n + 15 = 16n + 8, nên n = 7.

Vậy $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ bảy của dãy số.

Bài 2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n), biết $\{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ u_{n + 1} = - 2 - \frac{1}{u_{n}} . \end{cases}$

Lời giải:

Bốn số hạng đầu tiên của dãy u_n là:

u₁ = ‒2;

$u_{2} = - 2 - \frac{1}{- 2} = - \frac{3}{2};$

$u_{3} = - 2 - \frac{1}{- \frac{3}{2}} = - \frac{4}{3};$

$u_{4} = - 2 - \frac{1}{- \frac{4}{3}} = - \frac{5}{4};$

Ta dự đoán được số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_{n} = - \frac{n + 1}{n}$

Bài 3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 4 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n (n \geq 1) . \end{cases}$ Tìm số hạng thứ năm của dãy số đó.

Lời giải:

Ta có:

u₂ = u₁ + 1 = 4 + 1 = 5;

u₃ = u₂ + 2 = 5 + 2 = 7;

u₄ = u₃ + 3 = 7 + 3 = 10

Do đó, số hạng thứ năm của dãy số là u₅ = u₄ + 4 = 10 + 4 = 14.

Bài 4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) với u_n = (‒1)ⁿ.

Lời giải:

Ta có:

u₁ = (‒1)¹ = −1; u₃ = (‒1)³ = −1; …

u₂ = (‒1)² = 1; u₄ = (‒1)⁴ = 1; …

Do đó ‒1 ≤ u_n ≤ 1, suy ra (u_n) là dãy bị chặn.

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2};$

b) $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1};$

c) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} .$

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$ nên $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 13}{3 (n + 1) - 2} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1}$

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1} - \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$

$= \frac{(2 n - 11) (3 n - 2) - (2 n - 13) (3 n + 1)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{6 n^{2} - 37 n + 22 - (6 n^{2} - 37 n - 13)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{35}{(3 n + 1) (3 n - 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2} = \frac{\frac{2}{3} (3 n - 2) - \frac{35}{3}}{3 n - 2} = \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)}$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} \leq \frac{35}{3}$ $\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} \geq \frac{2}{3} - \frac{35}{3} = - 11$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 > 0 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} > 0$ $\Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} < \frac{2}{3}$

Suy ra $- 11 \leq u_{n} < \frac{2}{3}, \forall n \in ℕ^{*}$ , suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{{(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) + 1}{(n + 1) + 1} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2}$

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2} - \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

$= \frac{(n^{2} + 5 n + 5) (n + 1) - (n^{2} + 3 n + 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{3} + n^{2} + 5 n^{2} + 5 n + 5 n + 5 - (n^{3} + 2 n^{2} + 3 n^{2} + 6 n + n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{2} + 3 n + 3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ *$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_{n} > \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n + 1} = n + 1 \geq 2, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + (n + 1) + {(n + 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}$

Ta có u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + n + 1}}} = \sqrt{\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3 n + 3}} < 1, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n \geq 1; n^{2} \geq 1 \Rightarrow 1 + n + n^{2} \geq 3 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ $0 < u_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1};$

b) $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n^{2}};$

c) $u_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} .$

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = [(n + 1) - \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1}] - (n + \sqrt{n^{2} - 1})$

$= 1 - \sqrt{{(n + 1)}^{2} - 1} - \sqrt{n^{2} - 1} < 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Suy ra $(u_{n})$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_{n} = \frac{n + {(- 1)}^{n}}{n^{2}},$ ta có: $u_{1} = 0; u_{2} = \frac{3}{4}; u_{3} = \frac{2}{9}$ ,suy ra $\{\begin{cases} u_{2} > u_{1} \\ u_{3} < u_{2} \end{cases}$ .

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3^{n + 1} - 1}{2^{n + 1}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} = \frac{{3.3}^{n} - 1}{2^{n + 1}} - \frac{{2.3}^{n} - 2}{2^{n + 1}} = \frac{3^{n} + 1}{2^{n + 1}} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} .$

Lời giải:

Ta có: $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}; u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}$ , suy ra u_n > 1 ∀n ∈ N*. (1)

Hơn nữa:
$u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n - 1) n}, \forall n \in ℕ * .$

Ta có: $1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n - 1) n}$

$= 1 + (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})$

$= 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

$= 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n}$

Do đó $u_{n} < 2 - \frac{1}{n},$ nên u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*. (2)

Từ (1) và (2) ta có 1 < u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*.

Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Lý thuyết Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương $N^{*}$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

$u : N^{*} \to R$

$n \mapsto u_{n} = u (n)$

Dãy số trên được kí hiệu là $(u_{n})$ .

- Dãy số $(u_{n})$ được viết dưới dạng khai triển $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . ., u_{n}, . . .$

- Số $u_{1}$ là số hạng đầu; $u_{n}$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu $\forall n \in N^{*}, u_{n} = c$ thì $(u_{n})$ được gọi là dãy số không đổi.

Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập $M = {1; 2; 3; . . .; m}, m \in N^{*}$ được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là $u_{1}, u_{2}, u_{3}, . . ., u_{m}$ .

Trong đó, số $u_{1}$ gọi là số hạng đầu, $u_{m}$ là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

- Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).

- Công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$ .

- Phương pháp truy hồi:

+) Cho số hạng thứ nhất $u_{1}$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

+) Cho một công thức tính $u_{n}$ theo $u_{n - 1}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

- Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n + 1} > u_{n}$ $, \forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n + 1} < u_{n}$ $, \forall n \in N^{*}$ .

4. Dãy số bị chặn

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn trên nếu $\exists$ số M sao cho $u_{n} \leq M,$ $\forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\exists$ số m sao cho $u_{n} \geq m,$ $\forall n \in N^{*}$ .

Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \leq u_{n} \leq M,$ $\forall n \in N^{*}$ .

Lý thuyết Dãy số – Toán 11 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1 trang 32

Bài 2: Cấp số cộng

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2 trang 64

1 573 01/11/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3