Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 1 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ${\left(\sqrt{2}\right)}^x$.

Lời giải:

Tập xác định: ℝ.

Do $\sqrt{2}$ > 1 nên hàm số đồng biến trên ℝ.

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ theo bảng giá trị và nằm phía trên trục hoành.

Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình vẽ.

Bài 2 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ${\log }_{\frac{3}{2}}x$.

Lời giải:

Tập xác định: D = (0; +∞)

Do $\frac{3}{2}$ > 1 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞).

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ theo bảng giá trị và nằm phía trên trục hoành.

Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình vẽ.

Bài 3 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = log₂ (x - 4);

b) y = log0,₂ (x² + 2x + 1);

c) y = ${\log }_5\frac{x}{x-1}$.

Lời giải:

a) Để hàm số xác định thì x – 4 > 0 ⇒ x > 4.

Tập xác định của hàm số là: D = (4; +∞);

b) Để hàm số xác định thì x² + 2x + 1 > 0 ⇒ x ≠ 1.

Tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {-1};

c) y = ${\log }_5\frac{x}{x-1}={\log }_{5}x-{\log }_5(x-1)$.

Để hàm số xác định thì $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x>1\end{array}\right.\iff x>1$

Tập xác định của hàm số là: D = $(-\infty ;0)\cup (\text{1;}+\infty )$.

Bài 4 trang 17 SBT Toán 11 Tập 2: So sánh các cặp số sau:

a) 1,04^1,7 và 1,04²;

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-\frac{2}{5}}$và ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-\frac{3}{5}}$;

c) 1,2^0,3 và 0,9^1,8;

d) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0,4}$và 3^{– 0,2} .

Lời giải:

a) Ta thấy 1,04 >1 và 1,7 < 2.

Do đó 1,04^1,7 < 1,04².

b) Ta thấy $0<\frac{3}{5}<1$ và $-\frac{2}{5}>-\frac{3}{5}$

Do đó ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-\frac{2}{5}}<{\left(\frac{3}{5}\right)}^{-\frac{3}{5}}$.

c) Ta có: 1,2^0,3 > 1,2⁰ >1 (do 1,2 > 1 và 0,3 > 0)

Và 0,9^1,8 < 0,9⁰ < 1 (do 0 < 0,9 < 1 và 1,8 > 0)

Do đó 1,2^0,3 > 1 > 0,9^1,8.

d) Ta có: 3^0,4 > 3⁰ = 1 (do 3 > 1 và 0,4 > 0);

3^{– 0,2} < 3⁰ =1 (do 3 > 1 và – 0,2 < 0).

Do đó, ta có: 3^0,4 > 1> 3^–0,2 hay ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-0,4}$ > 1 > 3^0,2.

Bài 5 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2: So sánh các cặp số sau:

Lời giải:

Bài 6 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2: So sánh các cặp số sau:

a) log 4,9 và log 5,2;

b) log_0,3 0,7 và log_0,3 0,8;

c) ${\log }_{\pi }3$ và ${\log }_3\pi$.

Lời giải:

a) Hàm số log x có cơ số là 10 > 1 nên đồng biến trên (0; +∞) và do 4,9 < 5,2.

Do đó log 4,9 < log 5,2;

b) Hàm số log_0,3 x có cơ số 0 < 0,3 < 1 nên nghịch biến trên (0; +∞) và 0,7 < 0,8.

Do đó log_0,3 0,7 > log_0,3 0,8;

c) Hàm số log_0,3 x có cơ số là 3 > 1 nên đồng biến trên (0; +∞) và π > 3.

Do đó ${\log }_{\pi }3>{\log }_{3}3=1$ (1)

Hàm số ${\log }_{\pi }x$ có cơ số là π > 1 nên đồng biến trên (0; +∞) và π > 3.

Do đó ${\log }_{\pi }3<{\log }_{\pi }\pi =1$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có, ${\log }_{\pi }3$ < 1 < ${\log }_3\pi$.

Vậy ${\log }_{\pi }3$ < ${\log }_3\pi$.

Bài 7 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2: So sánh các cặp số sau:

a) 2 log_0,6 5 và $3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)$;

b) 6 log₅ 2 và 2 log₅ 6 ;

c) $\frac{1}{2}{\log }_{2}121$ và $2{\log }_{2}2\sqrt{3}$;

d) 2 log₃ 7 và 6 log₉ 4.

Lời giải:

a) Ta có 2 log_0,6 5 = log_0,6 5² = log_0,6 25;

$3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)={\log }_{0,6}{\left(\sqrt[3]{{3.2}^3}\right)}^3={\log }_{0,6}\left(24\right)$.

Do hàm số log_0,6 x cơ số 0 < 0,6 < 1 nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞) và 25 > 24 .

Do đó log_0,6 25 < log_0,6 24.

Vậy 2 log_0,6 5 < $3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)$.

b) Ta có 6 log₅ 2 = log₅ 2⁶ = log₅ 64;

2 log₅ 6 = log₅ 6² = log₅ 36

Do hàm số log₅ x cơ số 5 > 1 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞) và 64 > 36.

Do đó log₅ 64 > log₅ 36,

Vậy 6 log₅ 2 > 2 log₅ 6;

c) Ta có $\frac{1}{2}{\log }_{2}121={\log }_2\sqrt{121}={\log }_{2}11$;

$2{\log }_{2}2\sqrt{3}={\log }_2{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=lo{g}_2{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=lo{g}_{2}12$.

Do hàm số log₂ x cơ số 2 > 1 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞) và 11 < 12.

Do đó log₂ 11 < log₂ 12,

Vậy $\frac{1}{2}{\log }_{2}121<2{\log }_{2}2\sqrt{3}$.

d) Ta có 2 log₃ 7 = log₃ 7² = log₃ 49;

= $6{\log }_{9}4=6{\log }_{3^2}4=6.\frac{1}{2}{\log }_{3}4$

= $3{\log }_{3}4=lo{g}_3{4}^3={\log }_{3}64$;

Do hàm số log₃ x cơ số 3 > 1 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞) và 49 < 64.

Do đó log₃ 49 < log₃ 64.

Vậy 2 log₃ 7 < 6 log₉ 4.

Bài 8 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = f(x) = ${\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^x$ trên đoạn [−1; 4];

b) y = f(x) = $\frac{1}{3^x}$ trên đoạn [−2; 2].

Lời giải:

Bài 9 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = f(x) = ${\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x$ trên đoạn $\left[\frac{1}{3};3\right]$;

b) y = f(x) = log₂ (x + 1) trên đoạn $\left[-\frac{1}{2};3\right]$.

Lời giải:

Bài 10 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2: Sau khi bệnh nhân uống một liệu thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức D(t) = D₀.a^t (mg) trong đó D₀ và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc.

a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0 < a < 1?

b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100 mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80 mg. Hãy xác định giá trị của D₀ và a.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?

Lời giải:

a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số D(t) nghịch biến, do đó 0 < a < 1

b) Ta có: D₀ = 100, 80 = 100.a¹ (mg) ⇒ a = $\frac{80}{100}$ = 0,8.

Vậy D₀ = 100, a = 0,8.

c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã còn còn D(5) = 100.0,8⁵.

Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là

$\frac{D_0-D\left(5\right)}{D_0}=\frac{100-100.0,8^5}{100}\approx 0,6723\approx 67,23\%$.

Vậy sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi khoảng 67,23% so với lượng thuốc ban đầu.

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

1. Hàm số mũ

- Hàm số $y=a^x\left(a>0,a\ne 1\right)$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

- Hàm số $y=a^x\left(a>0,a\ne 1\right)$ có:

+ Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

+ Tập giá trị: $T=\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

+ Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

+ Sự biến thiên:

• Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=0$.
• Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=0;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$.

+ Đồ thị:

• Cắt trục tung tại điểm (0; 1), đi qua điểm (1; a).
• Nằm phía trên trục hoành.

2. Hàm số lôgarit

- Hàm số $y={\log }_{a}x\left(a>0;a\ne 1\right)$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

- Hàm số $y={\log }_{a}x\left(a>0;a\ne 1\right)$ có:

+ Tập xác định: $D=\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

+ Tập giá trị: $T=\mathbb{R}$.

+ Hàm số liên tục trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

+ Sự biến thiên:

• Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=0$.
• Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$.

+ Đồ thị:

• Cắt trục hoành tại điểm (1; 0), đi qua điểm (a; 1).
• Nằm phía phải trục tung.

Sơ đồ tư duy Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 5 trang 160

Bài 1: Phép tính lũy thừa

Bài 2: Phép tính lôgarit

Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6