So sánh các cặp số sau: a) 2 log0,6 5 và 3log0,6 (2. căn bậc 3 của 3)

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 7 trang 18 SBT Toán 11 Tập 2: So sánh các cặp số sau:

a) 2 log_0,6 5 và $3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)$;

b) 6 log₅ 2 và 2 log₅ 6 ;

c) $\frac{1}{2}{\log }_{2}121$ và $2{\log }_{2}2\sqrt{3}$;

d) 2 log₃ 7 và 6 log₉ 4.

Lời giải:

a) Ta có 2 log_0,6 5 = log_0,6 5² = log_0,6 25;

$3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)={\log }_{0,6}{\left(\sqrt[3]{{3.2}^3}\right)}^3={\log }_{0,6}\left(24\right)$.

Do hàm số log_0,6 x cơ số 0 < 0,6 < 1 nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞) và 25 > 24 .

Do đó log_0,6 25 < log_0,6 24.

Vậy 2 log_0,6 5 < $3{\log }_{0,6}\left(2\sqrt[3]{3}\right)$.

b) Ta có 6 log₅ 2 = log₅ 2⁶ = log₅ 64;

2 log₅ 6 = log₅ 6² = log₅ 36

Do hàm số log₅ x cơ số 5 > 1 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞) và 64 > 36.

Do đó log₅ 64 > log₅ 36,

Vậy 6 log₅ 2 > 2 log₅ 6;

c) Ta có $\frac{1}{2}{\log }_{2}121={\log }_2\sqrt{121}={\log }_{2}11$;

$2{\log }_{2}2\sqrt{3}={\log }_2{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=lo{g}_2{\left(2\sqrt{3}\right)}^2=lo{g}_{2}12$.

Do hàm số log₂ x cơ số 2 > 1 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞) và 11 < 12.

Do đó log₂ 11 < log₂ 12,

Vậy $\frac{1}{2}{\log }_{2}121<2{\log }_{2}2\sqrt{3}$.

d) Ta có 2 log₃ 7 = log₃ 7² = log₃ 49;

= $6{\log }_{9}4=6{\log }_{3^2}4=6.\frac{1}{2}{\log }_{3}4$

= $3{\log }_{3}4=lo{g}_3{4}^3={\log }_{3}64$;

Do hàm số log₃ x cơ số 3 > 1 nên hàm số đồng biến trên (0; +∞) và 49 < 64.

Do đó log₃ 49 < log₃ 64.

Vậy 2 log₃ 7 < 6 log₉ 4.