Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Các quy tắc tính đạo hàm

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 2.

1 514 01/11/2024

Trang trước

Trang sau

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 1 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{2}{x} + \frac{x^{3}}{3}$ ;

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9);

c) $y = \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} + x + 1}$ ;

d) $y = \frac{1 - 2 x}{x + 1}$ ;

e) y = xe^{2x + 1};

g) y = (2x + 3)3^{2x + 1};

h) y = xln²x;

i) $y = \log_{2} (x^{2} + 1)$ .

Lời giải:

a) $y^{'} = \frac{(- 3) .2. x}{2} + \frac{2. (- 1)}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{3} = - 3 x - \frac{2}{x^{2}} + x^{2}$ .

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9)

= (x⁴ – 5x² + 4)(x² + 9)

= x⁶ – 5x⁴ + 4x² + 9x⁴ – 45x² + 36

= x⁶ + 4x⁴ – 41x² + 36.

y' = 6x⁵ + 16x³ – 82x

c) $y^{'} = \frac{{(x^{2} - 2 x)}^{'} (x^{2} + x + 1) - (x^{2} - 2 x) {(x^{2} + x + 1)}^{'}}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

$= \frac{(2 x - 2) (x^{2} + x + 1) - (x^{2} - 2 x) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

$= \frac{(2 x^{3} - 2) - (2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}} = \frac{3 x^{2} + 2 x - x}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$ .

d) $y^{'} = \frac{{(1 - 2 x)}^{'} (x + 1) - (1 - 2 x) {(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}}$

$= \frac{(- 2) (x + 1) - (1 - 2 x)}{{(x + 1)}^{2}} = - \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} .$

e) $y' = x' e^{2 x + 1} + x (e^{2 x + 1})' = e^{2 x + 1} + x . {(2 x + 1)}^{'} . e^{2 x + 1}$

$= e^{2 x + 1} + x .2. e^{2 x + 1} = (2 x + 1) e^{2 x + 1}$ .

g) $y^{'} = (2 x + 3) 3^{2 x + 1} = {(2 x + 3)}^{'} 3^{2 x + 1} + (2 x + 3) {(3^{2 x + 1})}^{'}$

$= {2.3}^{2 x + 1} + (2 x + 3) {(2 x + 1)}^{'} 3^{2 x + 1} . \ln 3$

$= {2.3}^{2 x + 1} + (2 x + 3) {.2.3}^{2 x + 1} . \ln 3$

Tính đạo hàm của các hàm số sau trang 43 SBT Toán 11 Tập 2

h) $y^{'} = x^{'} l n^{2} x + x {(l n^{2} x)}^{'} = \ln^{2} x + x .2 \ln x . \frac{1}{x}$

$= \ln^{2} x + 2 \ln x$ .

i) $y' = \log_{2} (x^{2} + 1) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{'}}{(x^{2} + 1) \ln 2} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{'}}{(x^{2} + 1) \ln 2} = \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \ln 2}$ .

Bài 2 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f (x) = 3 x^{3} - 4 \sqrt{x}$ . Tính $f (4); f^{'} (4); f (a^{2}); f^{'} (a^{2})$ (a là hằng số khác 0).

Lời giải:

Ta có $f^{'} (x) = 3.3 x^{2} - \frac{4}{2 \sqrt{x}} = 9 x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ .

• $f (4) = {3.4}^{3} - 4 \sqrt{4} = 184$ .

• $f^{'} (4) = {9.4}^{2} - \frac{2}{\sqrt{4}} = 143$ .

Cho hàm số f x = 3x^2 – 4 căn bậc hai x Tính f 4 f’ 4 f a^2 f’ a^2 a là hằng số khác 0

Vậy Cho hàm số f x = 3x^2 – 4 căn bậc hai x Tính f 4 f’ 4 f a^2 f’ a^2 a là hằng số khác 0

Bài 3 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (1 + x²)²⁰;

b) $y = \frac{2 + x}{\sqrt{1 - x}}$ .

Lời giải:

a) $y' = 20 {(1 + x^{2})}^{19} . {(1 + x^{2})}^{'} = 20 {(1 + x^{2})}^{19} .2 x = 40 x {(1 + x^{2})}^{19}$ .

b) $y^{'} = \frac{{(2 + x)}^{'} \sqrt{1 - x} - (2 + x) {(\sqrt{1 - x})}^{'}}{{(\sqrt{1 - x})}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{1 - x} - (2 + x) \frac{{(1 - x)}^{'}}{2 \sqrt{1 - x}}}{{(\sqrt{1 - x})}^{2}}$

$= \frac{\sqrt{1 - x} - (2 + x) (- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}})}{(1 - x)}$

$= \frac{2 (1 - x) + (2 + x)}{2 (1 - x) \sqrt{1 - x}} = \frac{4 - x}{2 (1 - x) \sqrt{1 - x}}$ .

Bài 4 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x}{\sin x - \cos x}$ ;

b) $y = \frac{\sin x}{x}$ ;

c) $y = \sin x - \frac{1}{3} \sin^{3} x$ ;

d) y = cos (2sinx).

Lời giải:

a) $y^{'} = \frac{x^{'} (\sin x - \cos x) - x {(\sin x - \cos x)}^{'}}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$

Tính đạo hàm của các hàm số sau y = x/sinx-cosx y = sinx / x

$= \frac{(\sin x - \cos x) - x (\cos x + \sin x)}{{(\sin x - \cos x)}^{2}}$ .

b) $y^{'} = \frac{{(\sin x)}^{'} x - \sin x . x^{'}}{x^{2}} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^{2}}$

c) $y^{'} = \sin x - \frac{1}{3} \sin^{3} x = \cos x - \frac{1}{3} .3. \sin^{2} x . {(\sin x)}^{'}$

$= \cos x - \sin^{2} x . \cos x = \cos x (1 - \sin^{2} x)$

$= \cos x . \cos^{2} x = \cos^{3} x$ .

d) $y^{'} = - \sin (2 s i n x) . {(2 \sin x)}^{'} = - \sin (2 \sin x) .2 \cos x$

$= - 2 \sin (2 \sin x) \cos x$

Bài 5 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

a) y = xsin 2x;

b) y = cos²x;

c) y = x⁴ – 3x³ + x² − 1.

Lời giải:

a) $y^{'} = x^{'} \sin 2 x + x {(\sin 2 x)}^{'} = \sin 2 x + x \cos 2 x .2$

$= \sin 2 x + 2 x \cos 2 x$ .

$y^{''} = \cos 2 x + {(2 x)}^{'} \cos 2 x + 2 x {(\cos 2 x)}^{'}$

$= 2 \cos 2 x + 2 \cos 2 x + 2 x (- \sin 2 x) .2$

$= 4 \cos 2 x - 4 x \sin 2 x$

b) $y^{'} = 2 \cos x . (- \sin x) = - 2 \sin x \cos x = - \sin 2 x$

$y^{''} = - \cos 2 x .2 = - 2 \cos 2 x$ .

c) $y^{'} = 4 x^{3} - 3.3 x^{2} + 2 x = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ .

$y^{''} = 4.3 x^{2} - 9.2 x + 2 = 12 x^{2} - 18 x + 2$ .

Bài 6 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s = 100 + 2t – t² trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s.

Lời giải:

Ta có $s^{'} (t) = - 2 t + 2$ , suy ra ${s^{'}}^{'} (t) = - 2$ .

a) Vận tốc chất điểm bằng 0 khi $s^{'} (t) = - 2 t + 2 = 0$ hay t = 1

Vậy vận tốc chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3s, ta có:

• $s^{'} (3) = (- 2) .3 + 2 = - 4$ (m/s);

• $s^{''} (t) = - 2$ (m/s²).

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của chất điểm là −4 m/s; gia tốc của chất điểm là −2 m/s².

Bài 7 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = −2t³ + 75t + 3, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =3

Lời giải:

Ta có $s^{'} (t) = - 6 t^{2} + 75$ , suy ra ${s^{'}}^{'} (t) = - 12 t$ .

• $s^{'} (3) = (- 6) {.3}^{2} + 75 = 21$ (m/s).

• $s^{''} (3) = (- 12) .3 = - 36$ (m/s²).

Vậy tại thời điểm t = 3 vận tốc của chuyển động là 21 (m/s) và gia tốc của chuyển động là −36 (m/s²).

Bài 8 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy là x (đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra là P(x) = 200(x – 2)(17 – x) (nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm

Lời giải:

Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy là x đơn vị trăm sản phẩm

$P^{'} (30) = (- 400) .30 + 3800 = - 8200$

Vậy tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm là –8200 nghìn đồng.

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định. Khi đó

$\begin{array}{l} {(u + v)}^{'} = u^{'} + v^{'}; \\ {(u - v)}^{'} = u^{'} - v^{'}; \\ {(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}; \\ {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} (v = v (x) \neq 0); \end{array}$

${(C . v)}^{'} = C . v^{'}$ (C là hằng số);

${(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}} (v \neq 0)$ .

2. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là $u_{x}^{'}$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là $y_{u}^{'}$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} . u_{x}^{'}$ .

3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

4. Đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm $x \in (a; b)$ thì ta có hàm số $y^{'} = f^{'} (x)$ xác định trên (a; b).

Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y” hoặc f”(x).

$f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}$ .

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của vân chuyển động có phương trình $s = f (t)$ .

Sơ đồ tư duy Các quy tắc tính đạo hàm

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm (Chân trời sáng tạo 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 2)

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 4: Khoảng cách trong không gian

1 514 01/11/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3