Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Hàm số liên tục

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 1 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = x³ ‒ 3x + 2 tại điểm x = ‒2;

b) $f\left(x\right)=\sqrt{3x+2}$ tại điểm x = 0.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ, chứa điểm ‒2.

Ta có:

⦁ f(‒2) = (‒2)³ ‒ 3.(‒2) + 2 = 0;

⦁ $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^3-3x+2\right)={\left(-2\right)}^3$ - 3.(-2) + 2 = 0.

Suy ra $\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-2\right)$.

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = ‒2.

b) Tập xác định của hàm số là $D=\left[-\frac{2}{3};+\infty \right),$ chứa điểm 0.

Ta có:

⦁ $f\left(0\right)=\sqrt{3\cdot 0+2}=\sqrt{2}.$

⦁ $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{3x+2}=\sqrt{\underset{x\to 0}{\lim }\left(3x+2\right) }$

$=\sqrt{3\underset{x\to 0}{\lim }x+2}=\sqrt{3\cdot 0+2}=\sqrt{2}$

Suy ra $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 0.

Bài 2 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm x = 2.

a) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}6-2x& \text{ khi }x\ge 2\\ 2x^2-6& \text{ khi }x<2;\end{array}\right.$

b) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-4}{x-2}\text{ khi }x\ne 2\\ 0\text{ khi }x=2.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ, chứa điểm 2.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(6-2x\right)=6-2\cdot 2=2$

⦁ $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(2x^2-6\right)$ = 2 . 2⁶ - 6 = 2

⦁ f(2) = 6 ‒ 2.2 = 2.

Suy ra $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 2.

b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ, chứa điểm 2.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+2\right)=2+2=4$

⦁ f(2) = 0

Suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(2\right)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = 2.

Bài 3 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left(x\right)=\mathrm{|x}+\mathrm{1|}$ tại điểm x = ‒1;

b) $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left|x-1\right|}{x-1}& \text{khi }x\ne 1\\ 1& \text{khi }x=1\end{array}\right.$ tại điểm x = 1.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ, chứa điểm ‒1.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left|x+1\right|=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x+1\right)=-1+1=0$

⦁ $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left|x+1\right|=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left[-\left(x+1\right)\right]$$=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(-x-1\right)=1-1=0$

⦁ $f\left(-1\right)=\left|-1+1\right|=0$

Suy ra $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-1\right)$

Vậy hàm số liên tục tại x = ‒1.

b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ, có chứa điểm 1.

Ta có:

⦁ $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|x-1\right|}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }1=1$.

⦁ $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left|x-1\right|}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1-x}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-1\right)=-1$

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = ‒1.

Bài 4 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}& \text{ khi }x\ne 2\\ a& \text{ khi }x=2.\end{array}\right.$

Lời giải:

Ta có:

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x+2}-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{x+2-4}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}=\frac{1}{4}.$

Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)\iff \frac{1}{4}=a$.

Vậy $a=\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

Bài 5 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) f(x) = x³ ‒ x² + 2;

b) $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2-4x};$

c) $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x^2-x+1};$

d) $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x}$.

Lời giải:

a) f(x) là hàm đa thức có tập xác định là ℝ nên nó liên tục trên ℝ.

b) Ta có: x² ‒ 4x ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 và x ≠ 4.

f(x) là hàm số phân thức có tập xác định D = ℝ ∖ {0; 4} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 0), (0; 4) và (4; +∞).

c) Ta có: $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0,\forall x\in ℝ$

f(x) là hàm số phân thức có tập xác định ℝ nên nó liên tục trên ℝ.

d) Ta có: x² ‒ 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 và x ≥2

f(x) là hàm số thức có tập xác định D = (‒∞; 0] ∪ [2; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 0] và [2; +∞).

Bài 6 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{\text{tan}x}{\sqrt{1-x^2}};$

b) $f\left(x\right)=\frac{1}{\text{sin}x}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: 1 ‒ x² > 0 ⇔ ‒1 < x < 1.

Hàm số $y=\sqrt{1-x^2}$ xác định và liên tục trên (‒1; 1).

Hàm số y = tanx xác định và liên tục trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi };\frac{\pi }{2}+\mathrm{k\pi }\right)$ (với k ∈ ℤ)

Do $\left(-1;1\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên hàm số y = tanx xác định và liên tục trên (‒1; 1).

Suy ra, hàm số $f\left(x\right)=\frac{\text{tan}x}{\sqrt{1-x^2}}$ liên tục trên (‒1; 1).

b) Điều kiện: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ ℤ)

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng $\left(\mathrm{k\pi };\left(k+1\right)\pi \right)$ với k ∈ ℤ.

Bài 7 trang 90 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) = x ‒ 1 và g(x) = x² ‒ 3x + 2. Xét tính liên tục của các hàm số:

a) y = f(x).g(x);

b) $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)};$

c) $y=\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)+g\left(x\right)}}.$

Lời giải:

a) Ta có y = f(x).g(x) = (x ‒ 1)(x² ‒ 3x + 2)

Hàm số trên là hàm đa thức có tập xác định là ℝ nên nó liên tục trên ℝ.

b) Ta có $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{x-1}{x^2-3x+2}$

Ta có: x² ‒ 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 và x ≠ 2.

Hàm số trên là hàm số phân thức có tập xác định D = ℝ ∖ {1; 2} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 1), (1; 2) và (2; +∞).

c) Ta có $y=\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)+g\left(x\right)}}=\frac{1}{\sqrt{x-1+x^2-3x+2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}}$

Ta có: (x – 1)²> 0 ⇔ x ≠ 1

Hàm số trên là hàm phân thức có tập xác định D = ℝ \ {1} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 1) và (1; +∞).

Bài 8 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2-x\text{ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }x<1\\ x^2+x\text{ khi }x\ge 1\end{array}\right.$và $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x-x^2\text{ khi }x<1\\ -x^2+a\text{ khi }x\ge 1.\end{array}\right.$

Tìm giá trị của tham số a sao cho hàm số h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x = 1.

Lời giải:

Ta có: $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{ll}2+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2& \text{ khi }\mathrm{x}<1\\ \mathrm{x}+\mathrm{a}& \text{ khi }\mathrm{x}\ge 1.\end{array}\right.$

⦁ $\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}h\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(2+x-x^2\right)=2+1-1^2=2;$

⦁ $\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}h\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\left(x+a\right)=1+a;$

⦁ $h\left(1\right)=1+a.$

Hàm số h(x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }h\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }h\left(x\right)=h\left(1\right)$.

$\iff 2=1+a\iff a=1$

Vậy a = 1.

Bài 9 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ khi }\left|x\right|<2\\ x\left(2-x\right)\text{\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }\left|x\right|\ge 2.\end{array}\right.$

Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Ta có: $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ khi }\left|x\right|<2\\ x\left(2-x\right)\text{\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }\left|x\right|\ge 2\end{array}\right.$

Suy ra: $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-2<x<2\\ x\left(2-x\right)\text{\hspace{0.17em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x}\le -2;x\ge 2\end{array}\right..$

⦁ $\underset{x\to -2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\text{lim}}\left[x\left(2-x\right)\right]=-2\cdot \left(2+2\right)=-8=f\left(-2\right);$

⦁ $\underset{x\to -2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\text{lim}}\left(x^2+ax+b\right)=4-2a+b;$

⦁ $\underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}\left(x^2+ax+b\right)=4+2a+b;$

⦁ $\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}\left[x\left(2-x\right)\right]=2\cdot \left(2-2\right)=0=f\left(2\right)$.

Hàm số liên tục tại x = ‒2 và x = 2 khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(-2\right)\\ \underset{x\to 2^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}4-2a+b=-8\\ 4+2a+b=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}-2a+b=-12\\ 2a+b=-4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-8.\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy a = 2, b = ‒8 là các giá trị cần tìm.

Bài 10 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng phương trình:

a) x³ + 2x ‒ 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (‒1; 1).

b) $\sqrt{x^2+x}+x^2=1$ có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = x³ + 2x ‒ 1 xác định trên khoảng (‒1; 1) và có:

⦁ f(‒1) = (‒1)³ + 2.(‒1) ‒ 1 = ‒4.

⦁ f(1) = 1³ + 2.1 ‒ 1 = 2.

Do f(‒1).f(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 1).

b) Xét hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+x}+x^2-1$ xác định trên khoảng (0; 1) và có:

⦁ $f\left(0\right)=\sqrt{0^2+0}+0^2-1=-1$.

⦁ $f\left(1\right)=\sqrt{1^2+1}+1^2-1=\sqrt{2}$.

Do f(0).f(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 hay $\sqrt{x^2+x}+x^2=1$ có nghiệm thuộc (0; 1).

Bài 11 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + (y ‒ 1)² = 1. Với mỗi số thực m, gọi Q(m) là số giao điểm của đường thẳng d: y = m với đường tròn (C). Viết công thức xác định hàm số y = Q(m). Hàm số này không liên tục tại các điểm nào?

Lời giải:

$\mathrm{Ta} \mathrm{có}: \mathrm{Q}\mathrm{(m)} = \left\{\begin{array}{l}0 \mathrm{khi} \mathrm{m} < 0 \mathrm{hay} \mathrm{m} > 2\\ 1 \mathrm{khi} \mathrm{m} = 0 \mathrm{hay} \mathrm{m} = 2\\ 2 \mathrm{khi} 0 < \mathrm{m} < 2\end{array}\right.$

Ta có $\underset{m\to 0^{-}}{\lim }Q\left(m\right)=0;\underset{m\to 0^{+}}{\lim }Q\left(m\right)=2;f\left(0\right)=1$

nên $\underset{m\to 0^{-}}{\lim }Q\left(m\right)\ne \underset{m\to 0^{+}}{\lim }Q\left(m\right)\ne f\left(0\right)$

Do đó hàm số y = Q(m) không liên tục tại m = 0.

Ta có: $\underset{m\to 2^{-}}{\lim }Q\left(m\right)=2;$ $\underset{m\to 2^{+}}{\lim }Q\left(m\right)=0;f\left(2\right)=1$ nên $\underset{m\to 2^{-}}{\lim }Q\left(m\right)\ne \underset{m\to 2^{+}}{\lim }Q\left(m\right)\ne f\left(2\right)$

Do đó hàm số y = Q(m) không liên tục tại m = 2.

Vậy hàm số không liên tục tại các điểm m = 0 và m = 2.

Bài 12 trang 91 SBT Toán 11 Tập 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A, cắt nửa đường tròn tại C và tạo với đường thẳng AB góc $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$.

Kí hiệu diện tích tam giác ABC là S(α) (phụ thuộc vào α). Xét tính liên tục của hàm số S(α) trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ và tính các giới hạn $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }S\left(\alpha \right),\underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}}{\lim }S\left(\alpha \right).$

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông tại C nên với $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ ta có:

⦁ AC = AB.cosα = 2cosα;

⦁ BC = AB.sinα = 2sinα;

⦁ $S\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BC}=\frac{1}{2}\cdot 2\text{cos}\alpha \cdot 2\text{sin}\alpha =\text{sin}2\alpha$.

Do hàm số y = sin2α đều liên tục trên ℝ, mà $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\subset ℝ$ nên hàm số y = S(α) liên tục trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Khi đó:

+) $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\text{lim}}\text{sin}2\alpha =0;$

+) $\underset{\alpha \to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\text{lim}}S\left(\alpha \right)=\underset{\alpha \to {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-}}{\text{lim}}\text{sin}2\alpha =0.$

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 2: Hai đường thẳng song song

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song