Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Khoảng cách trong không gian

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều canh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Lời giải:

Gọi E là trung điểm của BC thì BC ⊥ AE (vì ∆ABC đều).

Ta có BC ⊥ SA và BC ⊥ AE $\Rightarrow$ BC ⊥ (SAE).

$\Rightarrow$(SBC) ⊥ (SAE).

Trong mặt phẳng (SAE), vẽ AF ⊥ SE (F $\in$ SE).

Suy ra AF ⊥ (SBC) hay d(A, (SBC))=AF.

Xét ∆SAE vuông tại A, ta có:

$\frac{1}{A{F}^2}=\frac{1}{A{S}^2}+\frac{1}{A{E}^2}=\frac{2}{3a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{2}{a^2}\Rightarrow AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $d\left(S,\left(ABC\right)\right)=AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG).

Lời giải:

a)Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ (ABC) hay d(S, (ABC))=SG.

Tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3a nên

$AG=\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Tam giác SAG vuông tại G nên

$SG=\sqrt{S{A}^2-A{G}^2}=\sqrt{4a^2-3a^2}=a$

Vậy d(S, (ABC)) = a.

b) Vì SC $\cap$ (SAG) = S nên $\frac{d(M,(SAG\left)\right)}{d(C,(SAG\left)\right)}=\frac{MS}{CS}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow d(M,(SAG\left)\right)=\frac{1}{2}d(C,(SAG\left)\right)$

Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có: CB ⊥ AI và CB ⊥ SG

$\Rightarrow$ CB ⊥ (SAG) và CB $\cap$ (SAG) = I.

Do đó $d(C,(SAG\left)\right)=CI=\frac{1}{2}BC=\frac{3a}{2}$ .

Vậy $d(M,(SAG\left)\right)=\frac{3a}{4}$ .

Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và $B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ .

Lời giải:

B'D' $\cap$ A'C' tại O.

Gọi P là trung điểm của OC'.

Vě OH ⊥ MP, HE // NP, EF // OH.

ABCD là hình lập phương, ta dễ dàng có được: B'D' ⊥ (A'C'CA).

Hay B'D' ⊥ OH, mà OH // EF

$\Rightarrow$ EF ⊥ B'D' (1).

NP // B'D' $\Rightarrow$ NP ⊥ (A'C'CA) hay NP ⊥ OH.

Đồng thời OH ⊥ MP.

$\Rightarrow$ OH ⊥ (MNP) hay OH ⊥ MN $\Rightarrow$ EF ⊥ MN (2)

Từ (1) và (2) ta có: d(MN, B'D') = EF = OH.

Xét tam giác vuông MOP, ta có OM = a, OP = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$, suy ra OH = $\frac{a}{3}$ .

Vậy d(MN, B'D') = $\frac{a}{3}$ .

Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng $\sqrt{11}$ . Gọi I là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI.

Lời giải:

Gọi O là trung điểm AC, J là trung điểm OD.

Vě OH ⊥ BJ, HE // AC, EF // OH.

Có IJ // AC nên AC // (BIJ).

$\Rightarrow$ d(AC, BI) = d(AC, (BIJ)) = d(O, (BIJ)).

Do ABCD là tứ diện đều nên ta dễ dàng nhận ra AC ⊥ (OBD).

$\Rightarrow$ AC ⊥ OH (OH $\subset$ OBD).

AC // IJ, $\Rightarrow$ OH ⊥ IJ.

Kết hợp giả thiết, suy ra OH ⊥ (BIJ) hay d(O, (BIJ)) = OH.

Xét tam giác OBD cân tại O, ta có

$\begin{array}{c}BD=\sqrt{11}.\\ OB=OD=BD.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2}\\ \Rightarrow BJ=\frac{\sqrt{11}}{4}\end{array}$.

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S_{OBD}=\frac{11\sqrt{2}}{4}\Rightarrow S_{OBJ}=\frac{11\sqrt{2}}{4}.$

Ta tính được OH = $\sqrt{2}$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BI là $\sqrt{2}$ .

Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác vuông cân tại B, AC = $a\sqrt{2}$ , mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SBC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Ta có: (SAC) ⊥ (ABC) và (SAC) $\cap$ (ABC) = AC.

Trong mặt phẳng (SAC), vẽ SH ⊥ AC (H $\in$ AC) thì SH ⊥ (ABC).

Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và BC.

Khi đó, ta có $\left(\left(SAB\right),\left(ABC\right)\right)=\widehat{SIH},\left(\left(SBC\right),\left(ABC\right)\right)=\widehat{SKH}.$

Mà $\widehat{SIH}=\widehat{SKH}=60°$ nên HI = HK.

Suy ra tử giác BIHK là hình vuông nên H là trung điểm cạnh AC.

Khi đó tử giác BIHK là hình vuông cạnh $\frac{a}{2}$ .

SH = HI . tan 60° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}.S_{BCD}.SA=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$.

Vậy thể tích V của khối chóp S.ABC là $\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$.

Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = $a\sqrt{3}$, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = a, AD = 3a, BC = a. Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.

Lời giải:

Ta có: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AB.(AD+BC)=\frac{1}{2}.a.(3a+a)=2a^2$

Lại có: $S_{ABD}=\frac{1}{2}.AB.AD=\frac{1}{2}.a.3a=\frac{3a^2}{2}$

Suy ra $S_{BCD}=S_{ABCD}-S_{ABD}=\frac{a^2}{2}$ .

Vậy $V_{S.BCD}=\frac{1}{3}.S_{BCD}.SA=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$ .

Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có cạnh đáy bằng a. Biết $d\left(A\right(A^{\text{'}}B{C}^{\text{'}}\left)\right)=\frac{a\sqrt{57}}{12}$ . Tính $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A'I.

Ta có: BC ⊥ AI và BC ⊥ AA' $\Rightarrow$ BC ⊥ (A'AI) $\Rightarrow$ (A'BC) ⊥ (A'AI).

Mặt khác (AB'C) $\cap$ (A'AI) = A'I và AH ⊥ A'I.

Nên $d(A,(A\text{'}BC\left)\right)=AH=\frac{a\sqrt{57}}{12}$

∆ABC đều cạnh a $\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Xét tam giác A'AI vuông tại A, ta có:

$\frac{1}{A\text{'}{A}^2}=\frac{1}{A{H}^2}-\frac{1}{A{I}^2}=\frac{144}{57a^2}-\frac{4}{3a^2}=\frac{68}{57a^2}\Rightarrow AA\text{'}=\frac{a\sqrt{57}}{2\sqrt{17}}$.

Do đó $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{ABC}.AA\text{'}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{57}}{2\sqrt{17}}=\frac{a^3\sqrt{171}}{8\sqrt{17}}$

Vậy $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{a^3\sqrt{171}}{8\sqrt{17}}$.

Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Một hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có ba kích thước là 2 cm, 3 cm và 6 cm. Tính thể tích của khối tứ diện $AC{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ .

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=V_{BAB\text{'}C}+V_{D.ACD\text{'}}+V_{A\text{'}B\text{'}AD\text{'}}+V_{C\text{'}B\text{'}CD\text{'}}+V_{ACB\text{'}D\text{'}} \\ =4.V_{BAB\text{'}C}+V_{ACB\text{'}D\text{'}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V_{ACB\text{'}D\text{'}}=V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}-4.V_{BAB\text{'}C} \\ \Rightarrow V_{ACB\text{'}D\text{'}}=V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}-4.\frac{1}{6}.V_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}} \\ \Rightarrow V_{ACB\text{'}D\text{'}}=\frac{1}{3}{V}_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow V_{ACB\text{'}D\text{'}}=\frac{1}{3}\mathrm{.2.3.6}=12\left(c{m}^3\right)$

Bài 9 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đường cao $H{H}^{\text{'}}=2a$ . Cho biết AB = 2a, $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=a$ . Gọi B₁, C₁ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:

a) Khối chóp cụt đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

b) Khối lăng trụ $A{B}_1{C}_1.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ .

Lời giải:

a)

Áp dụng công thức: $V=\frac{1}{3}h\left(S+\sqrt{SS\text{'}}+S\text{'}\right)$ ,

Do ABC, A¢B¢C¢ là các tam giác đều nên: , thay vào công thức trên ta có:

$V=\frac{1}{3}.2a.\left(a^2\sqrt{3}+\sqrt{a^2\sqrt{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)$

$=\frac{2}{3}a.\left(\frac{5\sqrt{3}{a}^2}{4}+\sqrt{\frac{3a^4}{4}}\right)$$=\frac{2}{3}a.\left(\frac{5\sqrt{3}{a}^2}{4}+\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}\right)$

$=\frac{2}{3}a.\left(\frac{5\sqrt{3}{a}^2}{4}+\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}\right)=\frac{2}{3}a.\frac{7\sqrt{3}{a}^2}{4}=\frac{7a^3\sqrt{3}}{6}$.

b)Áp dụng công thức: $V\text{'}=S\text{'}.h\text{'}$ , với $S\text{'}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},h\text{'}=2a.$

Ta có: $V\text{'}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.2a.=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$ .

Bài 10 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Tính thể tích một cái sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 80 cm, đáy nhỏ có cạnh bằng 40 cm và cạnh bên bằng 80 cm.

Lời giải:

Ta có: $OC=40\sqrt{2},O\text{'}C\text{'}=20\sqrt{2}$ , suy ra $CH=20\sqrt{2}$

Trong tam giác vuông C'CH có: $C\text{'}H=\sqrt{CC{\text{'}}^2-C{H}^2}=20\sqrt{14}$

Nên $OO\text{'}=C\text{'}H=20\sqrt{14}$

Thể tích của cái sọt đựng đồ là:

$V=\frac{1}{3}.20\sqrt{14}.(6400+\sqrt{6400.1600}+1600)\approx 279\mathrm{377,08}$ (cm³).

Lý thuyết Khoảng cách trong không gian

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng a thì độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ M đến đường thẳng a, kí hiệu d(M, a).

Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M, (P)).

Quy ước:

• d(M, a) = 0 khi và chỉ khi M thuộc a;
• d(M, (P)) = 0 khi và chỉ khi M thuộc (P).

Nhận xét:

a) Lấy điểm N tùy ý trên đường thẳng a, ta luôn có $d\left(M,a\right)\le MN$.

b) Lấy điểm N tùy ý trên mặt phẳng $\left(P\right)$, ta luôn có $d\left(M,\left(P\right)\right)\le MN$.

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến b, kí hiệu d(a, b).

Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P), kí hiệu d(a, (P)).

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì trên (P) đến (Q), kí hiệu d((P), (Q)).

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

Nếu đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b cắt chúng lần lượt tại I và J thì đoạn IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a, b)

Chú ý:

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp

Thể tích khối hộp chữ nhật bằng ba kích thước:

$V=abc$

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao:

$V=\frac{1}{3}S.h$

Thể tích khối chóp cụt đều có chiều cao h và diện tích hai đáy S, S’:

$V=\frac{1}{3}h\left(S+\sqrt{S{S}^{\prime }}+S^{\prime }\right)$

Thể tích khối lăng trụ bằng tích diện tích đáy và chiều cao:

$V=Sh$

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Bài tập cuối chương 9