Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B'C'

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và $B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ .

Lời giải:

B'D' $\cap$ A'C' tại O.

Gọi P là trung điểm của OC'.

Vě OH ⊥ MP, HE // NP, EF // OH.

ABCD là hình lập phương, ta dễ dàng có được: B'D' ⊥ (A'C'CA).

Hay B'D' ⊥ OH, mà OH // EF

$\Rightarrow$ EF ⊥ B'D' (1).

NP // B'D' $\Rightarrow$ NP ⊥ (A'C'CA) hay NP ⊥ OH.

Đồng thời OH ⊥ MP.

$\Rightarrow$ OH ⊥ (MNP) hay OH ⊥ MN $\Rightarrow$ EF ⊥ MN (2)

Từ (1) và (2) ta có: d(MN, B'D') = EF = OH.

Xét tam giác vuông MOP, ta có OM = a, OP = $\frac{a\sqrt{2}}{4}$, suy ra OH = $\frac{a}{3}$ .

Vậy d(MN, B'D') = $\frac{a}{3}$ .