Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều canh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều canh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Lời giải:

Gọi E là trung điểm của BC thì BC ⊥ AE (vì ∆ABC đều).

Ta có BC ⊥ SA và BC ⊥ AE $\Rightarrow$ BC ⊥ (SAE).

$\Rightarrow$(SBC) ⊥ (SAE).

Trong mặt phẳng (SAE), vẽ AF ⊥ SE (F $\in$ SE).

Suy ra AF ⊥ (SBC) hay d(A, (SBC))=AF.

Xét ∆SAE vuông tại A, ta có:

$\frac{1}{A{F}^2}=\frac{1}{A{S}^2}+\frac{1}{A{E}^2}=\frac{2}{3a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{2}{a^2}\Rightarrow AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $d\left(S,\left(ABC\right)\right)=AF=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .