Cho hình chóp S.ABC có tam giác vuông cân tại B, AC =a căn 2, mặt phẳng (SAC) vuông góc

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác vuông cân tại B, AC = $a\sqrt{2}$ , mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Các mặt bên (SAB), (SBC) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60°. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Ta có: (SAC) ⊥ (ABC) và (SAC) $\cap$ (ABC) = AC.

Trong mặt phẳng (SAC), vẽ SH ⊥ AC (H $\in$ AC) thì SH ⊥ (ABC).

Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và BC.

Khi đó, ta có $\left(\left(SAB\right),\left(ABC\right)\right)=\widehat{SIH},\left(\left(SBC\right),\left(ABC\right)\right)=\widehat{SKH}.$

Mà $\widehat{SIH}=\widehat{SKH}=60°$ nên HI = HK.

Suy ra tử giác BIHK là hình vuông nên H là trung điểm cạnh AC.

Khi đó tử giác BIHK là hình vuông cạnh $\frac{a}{2}$ .

SH = HI . tan 60° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{3}.S_{BCD}.SA=\frac{1}{3}.\frac{a^2}{2}.a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$.

Vậy thể tích V của khối chóp S.ABC là $\frac{a^2\sqrt{3}}{6}$.