Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_n=n-\sqrt{n^2-1};$

b) $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2};$

c) $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}.$

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}-u_n=\left[\left(n+1\right)-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}\right]-\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)$

$=1-\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}-\sqrt{n^2-1}<\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$

Suy ra $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

b) Xét $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2},$ ta có: $u_1=0;u_2=\frac{3}{4};u_3=\frac{2}{9}$,suy ra $\left\{\begin{array}{l}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}\right.$.

Do đó, (u_n) là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\frac{3^n-1}{2^n} \\ =\frac{{3.3}^n-1}{2^{n+1}}-\frac{{2.3}^n-2}{2^{n+1}}=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>\mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{\text{*}} \end{gathered}$$

Do đó, (u_n) là dãy số tăng.