Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 7 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10 m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm A₁ của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm A₂ của A₁B. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A₃ của A₂B. Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.

Lời giải:

Thời gian để mũi tên bay từ A đến A₁ là $\frac{1}{2}$ giây, từ A₁ đến A₂ là $\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$ giây, từ A₂ đến A₃ là $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$ giây, …

Tổng thời gian bay của mũi tên là $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots +\frac{1}{2^n}+\dots \left(*\right)$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội bằng $q=\frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó, tổng này bằng $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$ (giây).

Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.

Lập luận của nhà thông thái không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.