Tìm các giới hạn sau: a) lim n(2n^2+3)/4n^3+1

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 1 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\text{lim}\frac{n\left(2n^2+3\right)}{4n^3+1}$;

b) $\text{lim}\left[\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)\right]$.

Lời giải:

a) $\text{lim}\frac{n\left(2n^2+3\right)}{4n^3+1}=\lim \frac{2n^3+3n}{4n^3+1}=\lim \frac{2+\frac{3}{n^2}}{4+\frac{1}{n^3}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có:

$\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)$

$=\frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}\right)}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

$=\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

Suy ra $\lim \frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}=\lim \frac{4}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$ $=\frac{4}{1+1}=2.$