Cho hàm số f(x)=2x+1/x-3. a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 9 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-3}$.

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right).$

Lời giải:

a) Ta có: x ‒ 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

f(x) là hàm phân thức có tập xác định D = ℝ ∖ {3} nên nó liên tục trên các khoảng (‒∞; 3) và (3; +∞).

b) Ta có:

⦁$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2.$

⦁$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2.$

⦁$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}$

Vì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(2x+1\right)=2\cdot 3+1=7;\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{x-3}=+\infty$

Nên $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=+\infty .$

⦁ $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}$

Vì $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(2x+1\right)=2\cdot 3+1=7;\underset{x\to 3-}{\lim }\frac{1}{x-3}=-\infty$

Nên $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-3}=-\infty .$