Cho a > b > 0 và lim a^n+1 +b^n/2a^n+b^n+1=1. Tìm giá trị của a

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 4 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Cho a > b > 0 và $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=1.$ Tìm giá trị của a.

Lời giải:

Ta có $\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=\frac{a+{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}{2+b\cdot {\left(\frac{b}{a}\right)}^n}$ (chia cả tử và mẫu cho aⁿ).

Do đó $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=\lim \frac{a+{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}{2+b{\left(\frac{b}{a}\right)}^n}=\frac{a+0}{2+b\cdot 0}=\frac{a}{2}$ ( vì a > b > 0 nên $0<\frac{b}{a}<1$).

Theo bài, $\text{lim}\frac{a^{n+1}+b^n}{2a^n+b^{n+1}}=1,$ suy ra $\frac{a}{2}=1$, do đó a = 2.