Giải Toán 8 trang 96 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 8 trang 96 Tập 2

Bài 10 trang 96 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho MN // BC. Gọi I, P, Q lần lượt là giao điểm của BN và CM, AI và MN, AI và BC. Chứng minh:

a) $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ}};$

b) $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{IP}}{\mathrm{IQ}}.$

Lời giải:

a) Vì MN // BC, P ∈ MN nên ta có: MP // BQ, PN // QC.

Xét ∆ABQ với MP // BQ, ta có: $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Xét ∆AQC với PN // QC, ta có: $\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Suy ra $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AQ}}.$

b) Vì MN // BC nên ta có: MP // QC, PN // BQ.

Xét ∆CQI với MP // QC, ta có: $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{IP}}{\mathrm{IQ}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Xét ∆BQI với PN // BQ, ta có: $\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{IP}}{\mathrm{IQ}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Suy ra $\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{QC}}=\frac{\mathrm{PN}}{\mathrm{BQ}}=\frac{\mathrm{IP}}{\mathrm{IQ}}.$

Bài 11 trang 96 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 107. Chứng minh:

a) ∆ABN ᔕ ∆AIP và AI.AN = AP.AB;

b) AI.AN + BI.BM = AB².

Lời giải:

a) Xét ∆ABN và ∆AIP có:

$\widehat{\mathrm{ANB}}=\widehat{\mathrm{API}}=90°;$ $\widehat{\mathrm{IAP}}$ là góc chung

Suy ra ∆ABN ᔕ ∆AIP (g.g)

Do đó $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AI}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AP}}$ (tỉ số đồng dạng)

Nên AI.AN = AP.AB. (1)

b) Xét ∆ABM và ∆IBP có:

$\widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{IPB}}=90°;$ $\widehat{\mathrm{ABM}}$ là góc chung

Suy ra ∆ABM ᔕ ∆IBP (g.g)

Do đó $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{IB}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BP}}$ (tỉ số đồng dạng)

Nên AB.BP = BI.BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra

AI.AN + BI.BM = AB.AP + AB.BP

= AB.(AP + BP) = AB.AB = AB².

Vậy AI.AN + BI.BM = AB².

Bài 12 trang 96 Toán 8 Tập 2: Hình 108 minh họa mặt cắt đứng của tủ sách nghệ thuật ở nhà bác Ngọc. Sau một thời gian sử dụng, tủ sách đó đã có dấu hiệu bị xuống cấp và cần sửa lại. Các tấm ngăn BM, CN, DP bị hỏng và cần thay mới. Em hãy giúp bác Ngọc tính toán chiều dài các tấm ngăn mới lần lượt thay thế cho các tấm ngăn BM, CN, DP đã bị hỏng. Biết chiều dài tấm ngăn EQ bằng 4 m.

Lời giải:

Ta có: AB = BC = CD = DE (giả thiết);

AC = AB + BC; CE = CD + DE

Suy ra AC = CE hay C là trung điểm của AE.

Lại có: AM = MN = NP = PQ (giả thiết);

AN = AM + MN; NQ = NP + PQ

Suy ra AN = NQ hay N là trung điểm của AQ.

⦁ Xét ∆AEQ có C, N lần lượt là trung điểm của AE, AQ nên CN là đường trung bình của ∆AEQ

Suy ra $\mathrm{CN}=\frac{1}{2}\mathrm{EQ}=\frac{1}{2}\cdot 4=2$ (m).

⦁ Xét ∆ACN có B, M lần lượt là trung điểm của AC, AN (do AB = BC và AM = MN) nên BM là đường trung bình của ∆ACN.

Do đó $\mathrm{BM}=\frac{1}{2}\mathrm{CN}=\frac{1}{2}\cdot 2=1$ (m).

⦁ Ta có: AD = AB + BC + CD = 3AB, nên $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{3}.$

AP = AM + MN + NP = 3AM, nên $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AP}}=\frac{1}{3}.$

Do đó $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AP}}=\frac{1}{3}.$

Xét ∆ADP có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AP}}$ nên BM // DP (định lí Thalès đảo)

Suy ra (hệ quả của định lí Thalès)

Do đó DP = 3BM = 3.1 = 3 (m).

Vậy BM = 1 m, CN = 2 m, DP = 3 m.

Bài 13 trang 96 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 109. Hình nào đồng dạng phối cảnh với:

a) Tam giác OAB? b) Tam giác OBC?

c) Tam giác OCD? d) Tứ giác ABCD?

Lời giải:

a) Ta thấy hai đường thẳng AM, BN cùng đi qua điểm O và $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{ON}}{\mathrm{OB}}$ nên tam giác OMN đồng dạng phối cảnh với tam giác OAB.

Tương tự như vậy, ta cũng có hình đồng dạng phối cảnh với:

b) Tam giác OBC là: tam giác ONP.

c) Tam giác OCD là: tam giác OPQ.

d) Tứ giác ABCD là: Tứ giác MNPQ.

Bài 14 trang 96 Toán 8 Tập 2: Hình 110 có ghi thứ tự của 6 lá mầm, trong đó có nhiều cặp lá mầm gợi nên những cặp hình đồng dạng. Hãy viết 6 cặp lá mầm gợi nên những hình đồng dạng.

Lời giải:

Cặp 1: Lá mầm 1 và 3;

Cặp 2: Lá mầm 3 và 5;

Cặp 3: Lá mầm 1 và 5;

Cặp 4: Lá mầm 2 và 4;

Cặp 5: Lá mầm 4 và 6;

Cặp 6: Lá mầm 2 và 6.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 8 trang 94 Tập 2

Giải Toán 8 trang 95 Tập 2

Giải Toán 8 trang 96 Tập 2