Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Với giải bài tập Toán lớp 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 8 Bài 6.

1 857 21/09/2024


Giải Toán 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Giải Toán 8 trang 74 Tập 2

Khởi động trang 74 Toán 8 Tập 2: Mảnh đất trồng hoa của nhà bạn Hằng có dạng hình tam giác với độ dài các cạnh là 2 m, 3 m, 4 m. Bạn Hằng vẽ tam giác ABC có độ dài các cạnh là 1 cm, 1,5 cm, 2 cm để mô tả hình ảnh mảnh vườn đó (Hình 56a). Bạn Khôi nói rằng tam giác ABC nhỏ quá và vẽ tam giác A’B’C’ có độ dài các cạnh là 2 cm, 3 cm, 4 cm (Hình 56b).

Khởi động trang 74 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Hai tam giác A’B’C’ và ABC có đồng dạng hay không?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có, A'B'AB=21=2;  B'C'BC=42=2;  C'A'CA=31,5=2

Do đó A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA.

Xét ∆A’B’C’ và ∆ABC có: A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA.

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (c.c.c).

I. Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Cạnh-cạnh-cạnh

Hoạt động 1 trang 74 Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 56 và so sánh các tỉ số A'B'AB;  A'C'AC;  B'C'BC.

Lời giải:

Ta có A'B'AB=21=2;  B'C'BC=42=2;  C'A'CA=31,5=2

Do đó, A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA.

Giải Toán 8 trang 75 Tập 2

Luyện tập 1 trang 75 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AG; BG; CG. Chứng minh ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC.

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 75 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Xét ∆ABG có: A’, B’ lần lượt là trung điểm của AG; BG nên A’B’ là đường trung bình của ∆ABG

Suy ra A'B'AB=12.

Tương tự, ∆ACG có A’C’ là đường trung bình của tam giác nên A'C'AC=12.

∆CBG có C’B’ là đường trung bình của tam giác nên C'B'CB=12.

Do đó, A'B'AB=A'C'AC=C'B'CB=12.

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (c.c.c).

II. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vào tam giác vuông

Giải Toán 8 trang 76 Tập 2

Hoạt động 2 trang 76 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ (Hình 60) sao cho AB = 3, BC = 5, A’B’ = 6, B’C’ = 10.

Hoạt động 2 trang 76 Toán 8 Tập Cánh diều | Giải Toán 8

a) Tính CA và C’A’.

b) So sánh các tỉ số A'B'AB;B'C'BC;C'A'CA.

c) Hai tam giác A’B’C’ và ABC có đồng dạng với nhau hay không

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC2 = AB2 + AC2

Suy ra AC2 =BC2 – AB2 = 25 ‒ 9 =16.

Do đó AC = 4.

Xét ∆A’B’C’ vuông tại A’, theo định lí Pythagore ta có:

B’C’2 = A’B’2 + A’C’2

Suy ra A’C’2 =B’C’2 – A’B’2 = 100 ‒ 36 = 64

Do đó A’C’ = 8.

b) Ta có: A'B'AB=63=2;  B'C'BC=105=2;C'A'CA=84=2.

Do đó, A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA=2

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có: A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (c.c.c).

Giải Toán 8 trang 78 Tập 2

Luyện tập 2 trang 78 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 64, chứng minh tam giác CDM vuông tại M.

Luyện tập 2 trang 78 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Lời giải:

Luyện tập 2 trang 78 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Ta có ADBM=23;  DMMC=34,5=23nên ADBM=DMMC  =23.

Xét ∆ADM và ∆BMC có:

A^=B^=90°;

ADBM=DMMC

Suy ra ∆ADMᔕ∆BMC.

Do đó AMD^=BCM^ (hai góc tương ứng)

BCM^+BMC^=90° (tổng hai góc nhọn trong tam giác BCM vuông tại B bằng 90°)

Suy ra AMD^+BMC^=90°

Lại có AMD^+DMC^+BMC^=180°

Nên DMC^=180°AMD^+BMC^=180°90°=90°

Do đó ∆CDM vuông tại M.

Bài tập

Bài 1 trang 78 Toán 8 Tập 2: Quan sát Hình 65 và chỉ ra những cặp tam giác đồng dạng:

Bài 1 trang 78 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Lời giải:

Ta có: ABIK=612=12;  BCKH=918=12;  ACIH=7,515=12.

Do đó, ABIK=BCKH=ACIH  =12.

Xét ∆ABC và ∆IKHcó: ABIK=BCKH=ACIH

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆IKH (c.c.c).

Tương tự, xét ∆DEG và ∆MNP có: DEMN=DGMP=EGNP=12

Suy ra ∆DEG ᔕ ∆MNP(c.c.c).

Bài 2 trang 78 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có AB = 2; BC = 5; CA = 6; MN = 4; NP = 10; PM = 12. Hãy viết các cặp góc tương ứng bằng nhau của hai tam giác trên và giải thích kết quả.

Lời giải:

Ta có: ABMN=24=12; BCNP=510=12; CAPM=612=12.

Xét ∆ABC và ∆MNP có:ABMN=BCNP=CAPM

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c).

Do đó A^=M^;B^=N^;C^=P^ (các cặp góc tương ứng).

Bài 3 trang 78 Toán 8 Tập 2: Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P trong thực tiễn. Bác Duy cũng vẽ một bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A’, B’, C’ của tam giác A’B’C’ lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P đó. Tỉ lệ bản đồ mà bác Hùng và bác Duy vẽ lần lượt là 1 : 1 000 000 và 1 : 1 500 000. Chứng minh ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ và tính tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

∆ABC ᔕ ∆MNP theo tỉ số đồng dạng là: ABMN=BCNP=ACMP=11  000  000

Do đó AB=11  000  000MN

∆A’B’C’ ᔕ ∆MNP theo tỉ số đồng dạng là A'B'MN=B'C'NP=A'C'MP=11  500  000

Do đó A'B'=11  500  000MN

Suy ra A'B'AB=11  500  000MN11  000  000MN=1  000  0001  500  000=23.

Tương tự ta cũng có B'C'BC=23;   A'C'AC=23

Do đó A'B'AB=B'C'BC=A'C'AC=23.

Suy ra ∆A’B’C’ᔕ ∆ABC theo tỉ số đồng dạng là 23.

Bài 4 trang 78 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc tia OA, OB, OC sao cho OAOM=OBON=OCOP=23.Chứng minh ∆ABC ᔕ ∆MNP.

Lời giải:

Bài 4 trang 78 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

⦁ Xét tam giác OMN có: OAOM=OBON=23 nên AB // MN (định lí Thalès đảo)

Do đó OAOM=OBON=ABMN (1)

⦁ Xét tam giác OMP có: OAOM=OCOP=23 nên AC // MP (định lí Thalès đảo)

Do đó OAOM=OCOP=ACMP (2)

⦁ Xét tam giác ONP có: OCOP=OBON=23 nên BC // NP (định lí Thalès đảo)

Do đó OCOP=OBON=BCNP (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có ABMN=ACMP=BCNP

Do đó ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c)

Bài 5 trang 78 Toán 8 Tập 2: Bạn Hoa vẽ trên giấy một tam giác ABC và đoạn thẳng MN với các kích thước như Hình 66. Bạn Hoa đố bạn Thanh vẽ điểm P thỏa mãn PMN^=ACB^; PNM^=BAC^ mà không sử dụng thước đo góc. Em hãy giúp bạn Thanh sử dụng thước thẳng (có chia khoảng milimét) và compa để vẽ điểm P và giải thích kết quả tìm được.

Bài 5 trang 78 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Lời giải:

Bước 1. Qua M vẽ cung tròn tâm M, bán kính là 9 cm.

Bước 2.. Qua N, vẽ cung tròn tâm N, bán kính là 12 cm.

Bước 3. Giao điểm của hai cung tròn đã vẽ là điểm P.

Ta được: MP = 9 cm; NP = 12 cm.

Bài 5 trang 78 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Ta có: MNAC=4,53=32;  PMBC=96=32;  NPAB=128=32.

Do đó MNAC=PMBC=NPAB=32.

Suy ra ∆MNP ᔕ ∆CAB nên PMN^=BCA^;   PNM^=BAC^ (các cặp góc tương ứng).

Bài 6 trang 78 Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD và BMNP như ở Hình 67. Chứng minh:

a)BMBA=BPBC;

b) ∆MNP ᔕ ∆CBA.

Bài 6 trang 78 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Lời giải:

Bài 6 trang 78 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AB // CD.

Do BMNP là hình bình hành nên MN // BP và NP // BM

Do đó MN // BC // AD và NP // AB // CD.

Xét ∆ABDvới MN // AD, ta có BMBA=BNBD=MNAD (hệ quả của định lí Thalès) (1)

Xét ∆BDCvới NP // CD, ta có BPBC=BNBD=NPCD (hệ quả của định lí Thalès) (2)

Do đó BMBA=BPBC.

b) Xét tam giác ABC có: BMBA=BPBC nên MP // AC (định lí Thalès đảo)

Suy ra BMBA=BPBC=MPAC (hệ quả của định lí Thalès) (3)

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = CB; BA = CD(4)

Tư (1), (2), (3) và (4) ta cóMNCB=NPBA=MPCA.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Cạnh – cạnh – cạnh

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8 (ảnh 1)

ΔABC,ΔABC,ABAB=BCBC=ACACΔABCΔABC(c.c.c)

2. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8 (ảnh 2)

ΔABC,ΔMNP,MNAB=NPBC,M^=A^=900

ΔMNPΔABC (ch.cgv)

Sơ đồ tư duy Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác – Toán lớp 8 Cánh diều (ảnh 1)

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn

1 857 21/09/2024


Xem thêm các chương trình khác: