Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Với giải bài tập Toán lớp 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 8 Bài 7.

1 703 21/09/2024


Giải Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Giải Toán 8 trang 79 Tập 2

Khởi động trang 79 Toán 8 Tập 2: Bạn Hoàng và bạn Thu cùng vẽ bản đồ một ốc đảo và ba vị trí với tỉ lệ bản đồ khác nhau. Bạn Hoàng dùng ba điểm A, B, C lần lượt biểu thị các vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ ba (Hình 68a). Bạn Thu dùng ba điểm A’, B’, C’ lần lượt biểu thị ba vị trí đó (Hình 68b).

Khởi động trang 79 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Hai tam giác A’B’C và ABC có đồng dạng hay không?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có: A'B'AB=2,42=65;  A'C'AC=65.Do đó A'B'AB=A'C'AC=65.

Xét ∆A’B’C’ và ∆ABC có:

A^=A'^=135°; A'B'AB=A'C'AC.

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (c.g.c).

I. Trường hợp đồng dạng thứ hai: Cạnh-góc-cạnh

Hoạt động 1 trang 79 Toán 8 Tập 2:

Hoạt động 1 trang 79 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Quan sát Hình 68 và so sánh:

a) Các tỉ số A'B'ABA'C'AC;

b) Các góc A^A'^.

Lời giải:

a) Ta có: A'B'AB=2,42=65;  A'C'AC=65.Do đó A'B'AB=A'C'AC=65.

b) Ta có: A^=A'^=135°.

Giải Toán 8 trang 80 Tập 2

Luyện tập 1 trang 80 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ thoả mãn AB = 2, AC = 3, A’B’ = 6, A’C’ = 9 và A^=A'^. Chứng minh B^=B'^,  C^=C'^.

Lời giải:

Ta có ABA'B'=26=13,  ACA'C'=39=13.Suy ra ABA'B'=ACA'C'.

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’, có:

ABA'B'=ACA'C'; A^=A'^

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (c.g.c)

Do đó B^=B'^,  C^=C'^ (các cặp góc tương ứng).

Luyện tập 2 trang 80 Toán 8 Tập 2: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy các điểm A, B sao cho OA = 2cm, OB = 9cm. Trên tia Oy lấy các điểm M, Nsao cho OM = 3cm, ON = 6cm. Chứng minh OBM^=ONA^.

Lời giải:

Luyện tập 2 trang 80 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Xét hai tam giác OBM và ONA, ta có: OMOA=32,  OBON=96=32.Suy ra OMOA=OBON.

Lại có O^ là góc chung. Suy ra ∆OBM ᔕ ∆ONA (c.g.c).

Do đó OBM^=ONA^ (hai góc tương ứng).

II. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vào tam giác vuông

Giải Toán 8 trang 81 Tập 2

Hoạt động 2 trang 81 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có:A'^=A^=90°,  A'B'AB=A'C'AC(Hình 72). Chứng minh ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC.

Hoạt động 2 trang 81 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Lời giải:

Xét ∆A’B’C’ và ∆ABC có:

A'^=A^=90°,  A'B'AB=A'C'AC

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ∆ABC (c.g.c).

Luyện tập 3 trang 81 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ sao cho ABAC=A'B'A'C'. Chứng minh B^=B'^.

Lời giải:

Luyện tập 3 trang 81 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Ta có ABAC=A'B'A'C' nên ABA'B'=ACA'C'.

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’, ta có: A^=A'^=90°ABA'B'=ACA'C'

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (c.g.c).

Do đó B^=B'^ (hai góc tương ứng).

Bài tập

Bài 1 trang 81 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 74.

Bài 1 trang 81 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

a) Chứng minh ∆ABC ᔕ ∆MNP.

b) Góc nào của tam giác ∆MNP bằng góc B?

c) Góc nào của tam giác ∆ABC bằng góc P?

Lời giải:

a) Ta có ACMP=53,75=43;  ABMN=43. Suy ra ACMP=ABMN=43.

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

A^=M^=60°ACMP=ABMN

Vậy ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.g.c).

b) ∆ABC ᔕ ∆MNP, suy ra B^=N^ (hai góc tương ứng).

c) ∆ABC ᔕ ∆MNP, suy ra C^=P^ (hai góc tương ứng).

Giải Toán 8 trang 82 Tập 2

Bài 2 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 75, chứng minh:

Bài 2 trang 82 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

a) ∆IAB ᔕ ∆IDC;

b) ∆IAD ᔕ ∆IBC.

Lời giải:

a) Ta có IAID=24=12;  IBIC=3,57=12. Suy ra IAID=IBIC=12.

Xét ∆IAB và ∆IDC có:

AIB^=DIC^ (đối đỉnh) và IAID=IBIC

Vậy ∆IAB ᔕ ∆IDC (c.g.c).

b) Ta có IAIB=23,5=47;  IBIC=47. Suy ra IAIB=IDIC=47.

Xét ∆IAD và ∆IBC có:

AID^=BIC^ (đối đỉnh) vàIAIB=IDIC

Vậy ∆IAD ᔕ ∆IBC (c.g.c).

Bài 3 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 76, biết AB = 4, BC = 3, BE = 2, BD = 6. Chứng minh:

a) ∆ABD ᔕ ∆EBC;

b) DAB^=DEG^;

c) Tam giác DGE vuông.

Bài 3 trang 82 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Lời giải:

a) Ta có ABEB=42=2;  BDBC=63=2. Suy ra ABEB=BDBC=2.

Xét∆ABD và ∆EBCcó:

ABD^=EBC^=90°ABEB=BDBC

Vậy ∆ABD ᔕ ∆EBC (c.g.c).

b) Do ∆ABD ᔕ ∆EBC (câu a), suy ra DAB^=CEB^ (hai góc tương ứng)

CEB^=DEG^ (đối đỉnh) nên DAB^=DEG^

c) Ta có DAB^+ADB^=90° (tổng hai góc nhọn của ∆ABD vuông tại B bằng 90°)

DAB^=DEG^ (câu b)

Suy ra DEG^+ADB^=90° hay DEG^+GDE^=90°

Xét ∆GDE có DEG^+GDE^+DGE^=180° (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra DGE^=180°DEG^+GDE^=180°90°=90°.

Vậy tam giác DGE vuông tại G.

Bài 4 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 77, chứng minh:

Bài 4 trang 82 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

a) ABC^=BED^;

b) BC ⊥ BE.

Lời giải:

Bài 4 trang 82 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

a) Ta có ABDE=24=12;   ACDB=2,55=12. Suy ra ABDE=ACDB=12.

Xét ∆ABC và ∆DEB có:

A^=D^  =90°;

ABDE=ACDB

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆DEB (c.g.c).

Do đó ABC^=DEB^ (hai góc tương ứng).

b) Ta có DEB^+DBE^=90° (tổng hai góc nhọn của ∆BDE vuông tại D bằng 90°)

ABC^=DEB^ (câu a)

Suy ra ABC^+DBE^=90°

Lại có ABC^+CBE^+DBE^=180°

Nên CBE^=180°ABC^+DBE^=180°90°=90°.

Do đó BC ⊥ BE.

Bài 5 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP.

a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆MNQ.

b) Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP. Chứng minh ∆ABG ᔕ ∆MNK.

Lời giải:

Bài 5 trang 82 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

a) Vì ∆ABC ᔕ ∆MNP (giả thiết) nên ABC^=MNP^ABMN=BCNP

Vì D, Q lần lượt là trung điểm của BC và NP nên BD=12BC,  NQ=12NP

Do đó BDNQ=12BC12NP=BCNQ, suy ra ABMN=BDNQ  =BCNP

Xét ∆ABDvà ∆MNQ có:

ABD^=MNQ^ (do ABC^=MNP^);

ABMN=BDNQ

Suy ra ∆ABD ᔕ ∆MNQ (c.g.c).

b) Vì ∆ABD ᔕ ∆MNQ (câu a) BAD^=NMQ^ (hai góc tương ứng) và ABMN=ADMQ (tỉ số đồng dạng)

Mà G, K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP nên AG=23AD,  MK=23MQ

Do đó ABMN=ADMQ=23AD23MQ=AGMK

Xét ∆ABG và ∆MNK có:

BAG^=NMK^ (do BAD^=NMQ^);

ABMN=AGMK

Vậy ∆ABG ᔕ ∆MNK (c.g.c).

Bài 6 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 78, biết AH2 = BH.CH. Chứng minh:

a) ∆HAB ᔕ ∆HCA;

b) Tam giác ∆ABC vuông tại A.

Lời giải:

Bài 6 trang 82 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

a) Từ AH2 = BH.CH ta có AHBH=CHAH.

Xét ∆HAB và ∆HCA có:

AHB^=AHC^  =90°;

AHBH=CHAH

Suy ra ∆HAB ᔕ ∆HCA (c.g.c).

b) Vì ∆HAB ᔕ ∆HCA (câu a) nên ABH^=CAH^ (hai góc tương ứng).

ABH^+HAB^=90° (tổng hai góc nhọn của ∆ABH vuông tại H bằng 90°)

Suy ra CAH^+HAB^=90° hay BAC^=90°

Vậy ∆ABC vuông tại A.

Bài 7 trang 82 Toán 8 Tập 2: Đố. Chỉ sử dụng thước thẳng có chia đơn vị đến milimét và thước đo góc, làm thế nào đo được khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế, biết rằng có vị trí A thoả mãn AB = 20 m, AC = 50 m, BAC^=135°.

Bạn Vy làm như sau: Vẽ tam giác A’B’C’ có A’B’ = 2 cm, A’C’ = 5 cm, Bạn Vy lấy thước đo khoảng cách giữa hai điểm B’, C’ và nhận được kết quả B’C’ ≈ 6,6 cm. Từ đó, bạn Vy kết luận khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế khoảng 66 m. Em hãy giải thích tại sao bạn Vy có thể kết luận như vậy.

Lời giải:

Bài 7 trang 82 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

Đổi A’B’ = 2 cm = 0,02 m;

A’C’ = 5 cm = 0,05 m;

B’C’ = 6,6 cm = 0,066 m.

Ta có ABA'B'=200,02=1  000,ACA'C'=500,05=1  000.

Do đó ABA'B'=ACA'C'=1  000

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có:

BAC^=B'A'C'^  =135°;

ABA'B'=ACA'C'

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (c.g.c)

Do đó BCB'C'=ABA'B'=1  000

Nên BC = 1 000 . B’C’ = 1 000 . 0,066 = 66 (m).

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế khoảng 66m.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

1. Trường hợp đồng dạng thứ hai: Cạnh – góc – cạnh

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8 (ảnh 1)

ΔABC,ΔABC,ABAB=ACAC,A^=A^ΔABCΔABC(c.g.c)

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông

Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8 (ảnh 2)

ΔABC,ΔMNP,MNAB=MPAC,M^=A^=900

ΔMNPΔABC(2cgv)

Sơ đồ tư duy Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác – Toán lớp 8 Cánh diều (ảnh 1)

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn

Bài tập cuối chương 8 trang 94

1 703 21/09/2024


Xem thêm các chương trình khác: