Toán 8 Bài 2 (Cánh diều): Các phép tính với đa thức nhiều biến

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Bài giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Giải Toán 8 Trang 11 Tập 1

Khởi động trang 11 Toán 8 Tập 1: Ở lớp 7, ta đã học cách thực hiện phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia các đa thức một biến. Các phép tính với đa thức (nhiều biến) được thực hiện như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta giải quyết bài toán này như sau:

Các phép tính với đa thức (nhiều biến) được thực hiện tương tự các phép tính với đa thức một biến.

Hoạt động 1 trang 11 Toán 8 Tập 1: Cho hai đa thức: P = x² + 2xy + y² và Q = x² – 2xy + y².

a) Viết tổng P + Q theo hàng ngang.

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Lời giải:

a) Tổng P + Q được viết theo hàng ngang như sau:

P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau, ta được:

P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

= (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

c) Tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được:

P + Q = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

= 2x² + 2y².

Luyện tập 1 trang 11 Toán 8 Tập 1: Tính tổng của hai đa thức:

M = x³ + y³ và N = x³ – y³.

Lời giải:

M + N = (x³ + y³) + (x³ – y³)

= (x³ + y³) + (x³ – y³) = x³ + y³ + x³ – y³

= (x³ + x³) + (y³ – y³) = 2x³.

Giải Toán 8 Trang 12 Tập 1

Hoạt động 2 trang 12 Toán 8 Tập 1: Cho hai đa thức: P = x² + 2xy + y² và Q = x² – 2xy + y².

a) Viết hiệu P – Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc.

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đổng dạng với nhau.

c) Tính tổng P – Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Lời giải:

a) Hiệu P – Q được viết theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc, ta được:

P – Q = (x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²).

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đổng dạng với nhau, ta được:

P – Q = x² + 2xy + y² – x² + 2xy – y²

= (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²).

c) Tổng P – Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm như sau:

P – Q = (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²) = 4xy.

Giải Toán 8 Trang 13 Tập 1

Luyện tập 2 trang 13 Toán 8 Tập 1: Với ba đa thức A, B, C trong Ví dụ 3, hãy tính:

a) B – C;

b) (B – C) + A.

Lời giải:

Trong Ví dụ 3 có các đa thức: A = x² – 2xy + y²; B = 2x² – y²; C = x² – 3xy.

a) B – C = (2x² – y²) – (x² – 3xy)

= 2x² – y² – x² + 3xy = (2x² – x²) + 3xy – y²

= x² + 3xy – y²;

b) (B – C) + A = (x² + 3xy – y²) + (x² – 2xy + y²)

= x² + 3xy – y² + x² – 2xy + y²

= (x² + x²) + (3xy – 2xy) + (y² – y²)

= 2x² + xy.

Hoạt động 3 trang 13 Toán 8 Tập 1:

a) Tính tích: 3x² . 8x⁴;

b) Nêu quy tắc nhân hai đơn thức một biến.

Lời giải:

a) Ta có 3x² . 8x⁴ = (3 . 8) (x² . x⁴) = 24x⁶.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức một biến:

Muốn nhân hai đơn thức một biến ta làm như sau:

• Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;

• Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Luyện tập 3 trang 13 Toán 8 Tập 1: Tính tích của hai đơn thức: x³y⁷ và −2x⁵y³.

Lời giải:

Tích của hai đơn thức đã cho là:

x³y⁷ . (−2x⁵y³) = −2 (x³. x⁵) (y⁷. y³) = −2x⁸y¹⁰.

Hoạt động 4 trang 13 Toán 8 Tập 1:

a) Tính tích: 11x³ . (x² – x + 1);

b) Nêu quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến.

Lời giải:

a) Ta có: 11x³ . (x² – x + 1) = 11x³ . x² – 11x³ . x + 11x³ . 1

= 11x⁵ – 11x⁴ + 11x³.

b) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Giải Toán 8 Trang 14 Tập 1

Luyện tập 4 trang 14 Toán 8 Tập 1: Tính tích: $\left(-\frac{1}{2}xy\right)(8x^2-5xy+2y^2).$

Lời giải:

Ta có $\left(-\frac{1}{2}xy\right)(8x^2-5xy+2y^2)$

Hoạt động 5 trang 14 Toán 8 Tập 1:

a) Tính tích: (x + 1)(x² – x + 1);

b) Nêu quy tắc nhân hai đơn thức trong trường hợp một biến.

Lời giải:

a) Ta có: (x + 1)(x² – x + 1)

= x . x² – x . x + x . 1 + x² – x + 1

= x³ – x² + x + x² – x + 1

= x³ + (x² – x²) + (x – x) + 1= x³ + 1.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Luyện tập 5 trang 14 Toán 8 Tập 1: Tính: (x – y)(x – y).

Lời giải:

Ta có (x – y)(x – y) = x . x – x . y – y . x + y . y = x² – 2xy + y².

Giải Toán 8 Trang 15 Tập 1

Hoạt động 6 trang 15 Toán 8 Tập 1: Tính tích: 9x⁵y⁴ . 2x⁴y².

Lời giải:

Ta có 9x⁵y⁴ . 2x⁴y² = (9. 2) (x⁵. x⁴) (y⁴. y²) = 18x⁹y⁶.

Luyện tập 6 trang 15 Toán 8 Tập 1: Cho P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³). Tính giá trị của biểu thức P tại x = −0,5; y = −2.

Lời giải:

• Ta có: P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³)

= (21 : 7) (x⁴: x³) (y⁵: y³) = 3xy².

• Giá trị của biểu thức P tại x = −0,5; y = −2 là:

3 . (−0,5) (−2)² = −1,5 . 4 = −6.

Giải Toán 8 Trang 16 Tập 1

Hoạt động 7 trang 16 Toán 8 Tập 1: Tính tích: (3xy)(x + y).

Lời giải:

Ta có (3xy)(x + y) = 3xy . x + 3xy . y

= 3x²y + 3xy².

Luyện tập 7 trang 16 Toán 8 Tập 1: Tìm thương trong phép chia đa thức 12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴ cho đơn thức 3x³y³.

Lời giải:

Thương trong phép chia đa thức 12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴ cho đơn thức 3x³y³ là:

(12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴): (3x³y³)

= 12x³y³ : 3x³y³– 6x⁴y³ : 3x³y³+ 21x³y⁴: 3x³y³

= 4 – 2x+ 4y.

Bài tập:

Bài 1 trang 16 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x);

b) $\left(\frac{1}{6}{x}^2{y}^2\right)(-0,3x^{2}y-0,4xy+1)$;

c) (x + y)(x² + 2xy + y²);

d) (x – y)(x² – 2xy + y²).

Lời giải:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x)

= (–xy) . (–2x²y) + (–xy) . 3xy – (–xy) . 7x

= 2x³y² – 3x²y² + 7x²y.

b) $\left(\frac{1}{6}{x}^2{y}^2\right)(-0,3x^{2}y-0,4xy+1)$

c) (x + y)(x² + 2xy + y²)

= x . x² + x . 2xy + x . y² + y . x² + y . 2xy + y . y²

= x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

= x³ + (2x²y + x²y) + (xy²+ 2xy²) + y³

= x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

d) (x – y)(x² – 2xy + y²)

= x . x² – x . 2xy + x . y² – y . x²– y . (– 2xy) – y . y²

= x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

= x³ – (2x²y + x²y) + (xy² + 2xy²) – y³

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³.

Bài 2 trang 16 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y);

b) $\left(x^2{y}^2+\frac{1}{6}{x}^3{y}^2-x^5{y}^4\right):\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)$.

Lời giải:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y) = (39: 13) (x⁵: x²) (y⁷: y) = 3x³y⁶.

b) $\left(x^2{y}^2+\frac{1}{6}{x}^3{y}^2-x^5{y}^4\right):\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)$

Giải Toán 8 trang 17 Tập 1

Bài 3 trang 17 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) (x – y)(x² + xy + y²);

b) (x + y)(x² – xy + y²);

c) $(4x-1)(6y+1)-3x\left(8x+\frac{4}{3}\right)$;

d) (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²).

Lời giải:

a) (x – y)(x² + xy + y²)

= x . x² + x . xy + x . y²– y . x² – y . xy– y . y²

= x³ + (x²y – x²y) + (xy²– xy²) – y³= x³ – y³.

b) (x + y)(x² – xy + y²)

= x . x² – x . xy + x . y² + y . x² – y . xy + y . y²

= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³

= x³ + (x²y – x²y) + (xy²– xy²) + y³

= x³ + y³.

c) (4x - 1)(6y + 1) - 3x$\left(8x+\frac{4}{3}\right)$

= 4x.6y + 4x.1 - 1.6y - 1.1 - 3x.8x - 3x.$\frac{4}{3}$

= 24xy + 4x – 6y – 1 – 24x² – 4x

= 24xy – 24x² + (4x – 4x) – 6y – 1

= 24xy – 24x² – 6y – 1.

d) (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²)

= x . x + x . y – x . y – y . y + (xy⁴) : (xy²) – (x³y²) : (xy²)

= x² – y² + y²– x²= (x² – x²) + (y²– y²) = 0.

Bài 4 trang 17 Toán 8 Tập 1:

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

P = (5x² – 2xy + y²) – (x² + y²) – (4x² – 5xy + 1)

khi x = 1,2 và x + y = 6,2.

b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

(x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3).

Lời giải:

a) Ta rút gọn biểu thức P như sau:

P = (5x² – 2xy + y²) – (x² + y²) – (4x² – 5xy + 1)

= 5x² – 2xy + y²–x² – y²–4x² + 5xy – 1

= (5x² –x² –4x²)+(5xy – 2xy) + (y²– y²) – 1

= 3xy – 1.

Ta có: x = 1,2; x + y = 6,2 suy ra y = 6,2 – x = 6,2 – 1,2 = 5.

Khi đó, giá trị của biểu thức P khi x = 1,2 và y = 5 là:

3 . 1,2 . 5 – 1 = 18 – 1 = 17.

b) Ta có: (x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3)

= (2x³ – 10x²+ 8x + 3x²– 15x + 12) –(2x³ – x² – 10x – 6x² + 3x + 30)

= (2x³ – 7x²– 7x+ 12) – (2x³ – 7x² – 7x + 30)

= 2x³ – 7x²– 7x+ 12–2x³ +7x²+ 7x – 30

= (2x³ – 2x³) +(7x² – 7x²) +(7x – 7x) + (12– 30) = –8.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì (x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3)= –8.

Vậy giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 5 trang 17 Toán 8 Tập 1:

a) Chứng minh rằng biểu thức P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Lời giải:

a) Ta có: P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9)

= (10x – 5x²) – (x² + x + 9x + 9)

= (10x – 5x²) – (x² + 10x + 9)

= 10x – 5x² – x² – 10x – 9

= (– 5x² – x²) + (10x – 10x) – 9 = – 9.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì P = – 9.

Vậy biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Ta có: Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1

= 3x² + x² – 4xy – 12x + 4xy + 12x + 1

= (3x² + x²) + (4xy – 4xy) + (12x – 12x) + 1

= 4x² + 1

Vì 4x²≥ 0 nên 4x² + 1 > 0.

Vậy biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Bài 6 trang 17 Toán 8 Tập 1: Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm x (cm) và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm y (cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y.

Lời giải:

Diện tích tam giác vuông ban đầu là: $\frac{1}{2}$.6.8 = 24 (cm)

Tam giác vuông sau khi mở rộng có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x + 6 (cm); y + 8 (cm).

Diện tích tam giác vuông sau khi tăng độ dài hai cạnh góc vuông là:

$\frac{1}{2}$.(x+6).(y+8) = $\frac{1}{2}$xy + 4x + 3y + 24

= 24 + 4x + 3y + 24 = 4x + 3y + 48 (cm)

Vậy đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y là: 4x + 3y + 48 (cm).

Bài 7 trang 17 Toán 8 Tập 1: Khu vực của nhà bác Xuân có dạng hình vuông. Bác Xuân muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn để trồng rau (Hình 4). Biết diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m². Tính độ dài x (m) của khu vườn đó.

Lời giải:

Trong Hình 4, ta thấy:

• Khu vực nhà bác Xuân là hình vuông có cạnh x (m)

Diện tích khu vực nhà bác Xuân là: x² (m²).

• Mảnh đất trồng rau có dạng hình chữ nhật có chiều dài bằng x – 10 (m) và chiều rộng bằng x – 15 (m).

Diện tích mảnh đất trồng rau là: (x – 10)(x – 15) = x² – 10x – 15x + 150

= x² – 25x + 150 (m²).

Theo đề bài, diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m² nên ta có:

x² – (x² – 25x + 150) 475

x² – x² + 25x – 150 = 475

25x – 150 = 475

25x = 625

x = 25.

Vậy khu vườn có độ dài 25 m.

Bài giảng Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Lý thuyết Các phép tính với đa thức nhiều biến

1. Cộng hai đa thức nhiều biến

Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;

- Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

2. Trừ hai đa thức nhiềm biến

Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết hiệu P và Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;

- Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức dồng dạng với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

Ví dụ:

Cho hai đa thức $A=3x^2-xy$và $B=x^2+2xy-y^2$

$\begin{array}{l}A+B=\left(3x^2-xy\right)+\left(x^2+2xy-y^2\right)\\ =3x^2-xy+x^2+2xy-y^2\\ =(3x^2+x^2)+(-xy+2xy)-y^2\\ =4x^2+xy-y^2\end{array}$

$\begin{array}{l}A-B=\left(3x^2-xy\right)-\left(x^2+2xy-y^2\right)\\ =3x^2-xy-x^2-2xy+y^2\\ =(3x^2-x^2)+(-xy-2xy)+y^2\\ =2x^2-3xy+y^2\end{array}$

3. Nhân đa thức

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau; thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Ví dụ: $(-3x^{2}y)(4xy)=\left[\left(-3.4\right)\right].(x^2.x).\left(y.y\right)=-12.x^3.y^2$

Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}3x^{2}y\left(2x^{2}y-xy+3y^2\right)\\ =(3x^{2}y).(2x^{2}y)-(3x^{2}y).(xy)+(3x^{2}y).(3y^2)\\ =\mathrm{3.2.}(x^2.x^2)\left(y.y\right)-3.(x^2.x).\left(y.y\right)+\mathrm{3.3.}{x}^2.\left(y.y^2\right)\\ =6x^4{y}^2-3x^3.y^2+9x^2{y}^3\end{array}$

Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}(xy+1)(xy-3)\\ =(xy).\left(xy\right)+xy-3xy-3\\ =x^2{y}^2-2xy-3\end{array}$

4. Chia đa thức cho đơn thức

Hai đơn thức chia hết cho nhau

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B ($B\ne 0$) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}16x^4{y}^3:(-8x^3{y}^2)\\ =(16:(-8)).(x^4:x^3).\left(y^3:y^2\right)\\ =-2xy\end{array}$

Đa thức chia hết cho đơn thức

Đa thức A chia hết cho B ($B\ne 0$) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}(x^{2}y+y^{2}x):xy\\ =x^{2}y:xy+y^{2}x:xy\\ =x+y\end{array}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Phân thức đại số