Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Toán 8 Bài 8 (Cánh diều): Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

    Với giải bài tập Toán lớp 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 8 Bài 8.

    1 598 21/09/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

    Giải Toán 8 trang 83 Tập 2

    Khởi động trang 83 Toán 8 Tập 2: Bạn Khanh vẽ hai tam giác ABC và A’B’C’ sao cho A'^=A^=60° và B^=B'^=45° (Hình 79)

    Khởi động trang 83 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Hai tam giác A’B’C’ và ABC có đồng dạng hay không?

    Lời giải:

    Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

    Xét ∆A’B’C’ và ∆ABC có:

    A'^=A^=60° và B^=B'^=45°

    Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (g.g).

    I. Trường hợp đồng dạng thứ ba: Góc-góc

    Hoạt động 1 trang 83 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC, A’B’C’ sao cho: A^=A'^,  B^=B'^ và A’B’ ≠ AB (Hình 80). Trên tia A’B’ lấy điểm M khác B thỏa mãn: A’M = AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với B’C’ cắt tia A’C’ tại N. Chứng minh ∆A’MN = ∆ABC.

    Từ đó suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC.

    Hoạt động 1 trang 83 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Lời giải:

    Hoạt động 1 trang 83 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Do MN // B’C’ nên A'MN^=A'B'C'^ (hai góc đồng vị)

    Mà ABC^=A'B'C'^ (giả thiết) nên A'MN^=ABC^.

    Xét ∆A’MN và ∆ABC có:

    A'MN^=ABC^;

    A'^=A^ (giả thiết).

    Suy ra ∆A’MN = ∆ABC (g.c.g).

    Do đó ∆A’MN ᔕ ∆ABC.

    Lại có MN // B’C’ nên ∆A’B’C’ ᔕ ∆A’MN.

    Từ đó ta suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC.

    Luyện tập 1 trang 83 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP thỏa mãn: A^=50°, B^=60°, N^=60°, P^=70°. Chứng minh ∆ABC ᔕ ∆MNP.

    Lời giải:

    Xét∆ABC có: A^+B^+C^=180° (tổng ba góc của một tam giác)

    Suy ra C^=180°−A^−B^=180°−50°−60°=70°.

    Xét ∆ABC và ∆MNP có: B^=N^=60°; C^=P^=70°.

    Suy ra ∆ABC ᔕ ∆MNP (g.g).

    II. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác vào tam giác vuông

    Giải Toán 8 trang 84 Tập 2

    Hoạt động 2 trang 84 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có A'^=A^=90°, B'^=B^ (Hình 84). Chứng minh ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC.

    Hoạt động 2 trang 84 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Lời giải:

    Xét ∆A’B’C’ và ∆ABC có:

    A'^=A^=90°;  B'^=B^

    Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (g.g).

    Luyện tập 2 trang 84 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Chứng minh HA.HD = HB.HE.

    Lời giải:

    Luyện tập 2 trang 84 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Do tam giác ABC có hai đường cao AD và BE nên BE ⊥ AC, AD ⊥ BC.

    Suy ra AEB^=ADB^=90° hay AEH^=BDH^=90°

    Xét ∆HEA và ∆HDB có:

    AEH^=BDH^=90°;

    AHE^=BHD^ (đối đỉnh)

    Suy ra ∆HEA ᔕ ∆HDB (g.g).

    Do đó HEHD=HAHB (tỉ số đồng dạng)

    Vì vậy, HA.HD = HB.HE.

    Bài tập

    Giải Toán 8 trang 85 Tập 2

    Bài 1 trang 85 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 86.

    Bài 1 trang 85 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    a) Chứng minh ∆MNP ᔕ ∆ABC.

    b) Tìm x.

    Lời giải:

    a) Xét ∆MNP và ∆ABC có:

    M^=A^=60°, N^=B^=45°

    Suy ra ∆MNP ᔕ ∆ABC (g.g).

    b) Vì ∆MNP ᔕ ∆ABC(câu a) nên MPAC=NPBC (tỉ số đồng dạng)

    Hay x42=3343=34

    Do đó x=42⋅34=32.

    Vậy x=32.

    Bài 2 trang 85 Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và PMN thỏa mãn A^=70°, B^=80°, M^=80°, N^=30°. Chứng minh ABPM=BCMN=CANP.

    Lời giải:

    Bài 2 trang 85 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Xét ∆MNP có: M^+N^+P^=180° (tổng ba góc của một tam giác)

    Suy ra P^=180°−M^−N^=180°−80°−30°=70°.

    Xét ∆ABC và ∆MNP có:

    A^=P^=70°;

    B^=M^=80°

    Suy ra ∆ABC ᔕ ∆MNP (g.g)

    Do đó ABPM=BCMN=CANP (tỉ số đồng dạng).

    Bài 3 trang 85 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh:

    a) ∆ACD ᔕ ∆BCE và CA.CE = CB.CD.

    b) ∆ACD ᔕ ∆AHE và AC.AE = AD.AH.

    Lời giải:

    Bài 3 trang 85 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    a) Do tam giác ABC có hai đường cao AD và BE nên AD ⊥ BC, BE ⊥ AC.

    Suy ra ADC^=BCE^=90°; ADC^=AEH^=90°

    Xét ∆ACD và ∆BCE có:

    ADC^=BCE^=90°; C^ là góc chung

    Suy ra ∆ACD ᔕ ∆BCE (g.g).

    Do đó ACBC=CDCE (tỉ số đồng dạng)

    Vì vậy, CA.CE = CB.CD.

    b) Xét ∆ACD và ∆AHE có:

    DAC^ là góc chung; ADC^=AEH^=90°

    Suy ra∆ACD ᔕ ∆AHE (g.g).

    Do đó ACAH=ADAE (tỉ số đồng dạng)

    Vì vậy, AC.AE = AH.AD.

    Bài 4 trang 85 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 87 với OAD^=OCB^. Chứng minh:

    a) ∆OAD ᔕ ∆OCB;

    b) OAOD=OCOB;

    c) ∆OAC ᔕ ∆ODB.

    Bài 4 trang 85 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Lời giải:

    a) Xét ∆OAD và ∆OCB có:

    O^ là góc chung; OAD^=OCB^ (giả thiết)

    Suy ra ∆OAD ᔕ ∆OCB (g.g).

    b) Vì ∆OAD ᔕ ∆OCB(câu a)nên OAOC=ODOB (tỉ số đồng dạng).

    Do đó OAOD=OCOB (tính chất tỉ lệ thức).

    c) Xét ∆OAC và ∆ODB có:

    O^ là góc chung; OAOD=OCOB (câu a)

    Suy ra∆OAC ᔕ ∆ODB (c.g.c).

    Bài 5 trang 85 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (Hình 88). Chứng minh:

    a) ∆ABC ᔕ ∆HBA và AB2 = BC.BH;

    b) ∆ABC ᔕ ∆HAC và AC2 = BC.CH;

    c) ∆ABH ᔕ ∆CAH và AH2 = BH.CH;

    d) 1AH2=1AB2+1AC2.

    Bài 5 trang 85 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Lời giải:

    Bài 5 trang 85 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    a) Do tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH nên AH ⊥ BC

    Do đó BAC^=AHB^=AHC^=90°

    Xét ∆ABC và ∆HBA có:

    BAC^=AHB^=90°; A^ là góc chung

    Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g).

    Do đó ABHB=BCBA (tỉ số đồng dạng)

    Nên AB2 = BC.BH.

    b) Xét ∆ABC và ∆HAC có:

    BAC^=AHC^=90°; C^ là góc chung

    Suy ra∆ABC ᔕ ∆HAC (g.g).

    Do đó ACHC=BCAC(tỉ số đồng dạng)

    Nên AC2 = BC.CH.

    c) Do ∆HBA ᔕ ∆ABC (do ∆ABC ᔕ ∆HBA (câu a)) và ∆ABC ᔕ ∆HAC (câu b)

    Suy ra ∆HBAᔕ ∆HAC

    Hay ∆ABH ᔕ ∆CAH

    Suy ra AHCH=BHAH(tỉ số đồng dạng)

    Nên AH2 = BH.CH.

    d) Ta có 1AC2+1AB2=1BC⋅CH+1BC⋅BH

    =BHBC⋅BH⋅CH+CHBC⋅BH⋅CH

    =BH+CHBC⋅BH⋅CH=BCBC⋅BH⋅CH

    =1BH⋅CH=1AH2.

    Vậy 1AH2=1AB2+1AC2.

    Bài 6 trang 85 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 89, bạn Minh dùng một dụng cụ để đo chiều cao của cây. Cho biết khoảng cách từ mắt bạn Minh đến cây và đến mặt đất lần lượt là AH = 2,8 m và AK = 1,6 m. Em hãy tính chiều cao của cây.

    Bài 6 trang 85 Toán 8 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 8

    Lời giải:

    Xét ∆ABH và ∆CAH có:

    AHB^=CHA^=90°; BAH^=ACH^(cùng phụ HAC^)

    Suy ra∆ABH ᔕ ∆CAH (g.g)

    Do đó AHCH=BHAH(tỉ số đồng dạng)

    Tứ giác AHBK có AHB^=HBK^=BKA^=90° nên là hình chữ nhật

    Suy ra BH = AK = 1,6 m.

    Do đó CH=AH2BH=2,821,6=4,9

    Vì vậy, CB = CH + HB = 4,9 + 1,6 = 6,5 (m).

    Vậy chiều cao của cây là 6,5 m.

    Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

    1. Trường hợp đồng dạng thứ ba (góc – góc)

    Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

    Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8 (ảnh 1)

    ΔABC,ΔA′B′C′,A′^=A^,B′^=B^⇒ΔA′B′C′∽ΔABC

    2. Trường hợp đồng dạng góc nhọn của tam giác vuông

    Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

    Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8 (ảnh 2)

    ΔABC,ΔMNP,A^=M^=900,B^=N^⇒ΔABC∽ΔMNP(g.g)

    Sơ đồ tư duy Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

    Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác – Toán lớp 8 Cánh diều (ảnh 1)

    Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

    Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

    Bài 9: Hình đồng dạng

    Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn

    Bài tập cuối chương 8 trang 94

    Chủ đề 3: Thực hành đo chiều cao

    Tham khảo các loạt bài Toán 8 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 598 21/09/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: