Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a khác 0)

Giải Toán 8 Bài 4: Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a khác 0)

Bài giải Toán 8 Bài 4: Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a khác 0)

Giải Toán 8 trang 71 Tập 1

Khởi động trang 71 Toán 8 Tập 1: Ở bài học trước, ta đã học đồ thị của một hàm số trên mặt phẳng tọa độ. Trong bài học này, ta sẽ tìm hiểu một trường hợp riêng trong đồ thị của hàm số, đó là đồ thị của hàm số bậc nhất.

Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) có tính chất gì?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng.

• Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{b}{a}$ hay đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(-\frac{b}{a};0\right).$

• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng b hay đồ thị hàm số đi qua điểm (0; b).

I. Đồ thị của hàm số bậc nhất

Hoạt động 1 trang 71 Toán 8 Tập 1: Xét hàm số y = x – 2.

a) Tìm giá trị của y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Vẽ các điểm A(0; − 2), B(2; 0), C(3; 1) của đồ thị hàm số y = x – 2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Dùng thước thẳng để kiểm tra ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không.

Lời giải:

a) • Với x = 0 thì y = 0 – 2 = – 2;

• Với x = 2 thì y = 2 – 2 = 0;

• Với x = 3 thì y = 3 – 2 = 1.

Vậy giá trị của y tương ứng với giá trị của x được điền vào trong bảng sau:

b) Cách xác định các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:

• Cách xác định điểm A(0; − 2):

Qua điểm − 2 trên trục Oy, ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục Oy.

Đường thẳng thẳng này cắt trục Oy tại điểm A(0; − 2).

• Xác định điểm B(2; 0):

Qua điểm 2 trên trục Ox, ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox.

Đường thẳng thẳng này cắt trục Ox tại điểm B(2; 0).

• Xác định điểm C(3; 1):

Qua điểm 3 trên trục Ox, ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox.

Qua điểm 1 trên trục Oy, ta kẻ đường thẳng vuông góc với trục Oy.

Hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm C(3; 1).

Từ đó ta xác định các điểm A(0; − 2), B(2; 0), C(3; 1) trên trục số như sau:

Đặt thước thẳng để kiểm tra hai điểm A và B, ta thấy điểm C nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm A và B.

Vậy ba điểm A, B, C có thẳng hàng.

Giải Toán 8 trang 72 Tập 1

Luyện tập 1 trang 72 Toán 8 Tập 1: Cho hàm số y = 4x + 3. Tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ bằng 0.

Lời giải:

Điểm có hoành độ bằng 0, tức là điểm đó có x = 0.

Với x = 0 thì y = 4 . 0 + 3 = 0 + 3 = 3.

Vậy điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ bằng 0 thì tọa độ của điểm đó là (0; 3).

II. Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

Giải Toán 8 trang 73 Tập 1

Luyện tập 2 trang 73 Toán 8 Tập 1: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = 3x;

b) y = 2x + 2.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số y = 3x.

Với x = 1 thì y = 3 . 1 = 3, ta được điểm A(1; 3) thuộc đồ thị của hàm số y = 3x.

Vậy đồ thị của hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và A(1; 3).

Khi đó, đồ thị hàm số y = 3x được biểu diễn như hình vẽ:

b) Đồ thị hàm số y = 2x + 2.

• Với x = 0 thì y = 2 . 0 + 2 = 0 + 2 = 2, ta được điểm M(0; 2) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x + 2.

• Với y = 0 thì 2x + 2 = 0 suy ra x = – 1, ta được điểm N(– 1; 0) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x + 2.

Vậy đồ thị của hàm số y = 2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm M(0; 2) và N(– 1; 0).

Khi đó, đồ thị hàm số y = 2x + 2 được biểu diễn như hình vẽ:

Hoạt động 2 trang 73 Toán 8 Tập 1: Quan sát các đường thẳng y = x + 1 và y = – x – 1 (Hình 20).

a) Tung độ các điểm M, N là số dương hay số âm?

b) Tìm góc tạo bởi hai tia Ax và AM ở Hình 20a.

c) Tìm góc tạo bởi hai tia Bx và BN ở Hình 20b.

Lời giải:

a) Trong Hình 20a): Điểm M nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tung độ các điểm M là số dương;

Trong Hình 20b): Điểm N nằm trong góc phần tư thứ hai nên tung độ các điểm N là số âm.

Vậy tung độ của điểm M là số dương và tung độ của điểm N là số âm.

b) Góc tạo bởi hai tia Ax và AM ở Hình 20a là góc MAx.

c) Góc tạo bởi hai tia Bx và BN ở Hình 20b là góc NBx.

Giải Toán 8 trang 74 Tập 1

Hoạt động 3 trang 74 Toán 8 Tập 1: Hình 22a biểu diễn đồ thị của các hàm số bậc nhất: y = 0,5x + 2; y = 2x + 2.

Hình 22b biểu diễn đồ thị của các hàm số bậc nhất: y = – 2x + 2; y = – 0,5x + 2.

a) Quan sát Hình 22a, so sánh các góc α, β và so sánh các giá trị tương ứng của hệ số của x trong các hàm số bậc nhất rồi rút ra nhận xét.

b) Quan sát Hình 22b, so sánh các góc α’, β’ và so sánh các giá trị tương ứng của hệ số của x trong các hàm số bậc nhất rồi rút ra nhận xét.

Lời giải:

a) Hình 22a): Sử dụng thước đo góc để đo hai góc α, β ta thấy α < β.

• Hàm số bậc nhất y = 0,5x + 2 có hệ số của x là 0,5.

• Hàm số bậc nhất y = 2x + 2 có hệ số của x là 2.

Từ đó ta suy ra: hệ số của x trong các hàm số y = 0,5x + 2 nhỏ hơn hệ số của x của đường thẳng y = 2x + 2.

Nhận xét:

• Khi hệ số của x lớn hơn 0 thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox là góc nhọn.

• Hệ số của x càng nhỏ thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox càng nhỏ.

b) Hình 22b): Sử dụng thước đo góc để đo hai góc α’, β’ ta thấy α’ < β’.

• Hàm số bậc nhất y = – 2x + 2 có hệ số góc – 2.

• Hàm số bậc nhất y = – 0,5x + 2 có hệ số góc – 0,5.

Từ đó ta suy ra: hệ số của x trong các hàm số y = – 2x + 2 nhỏ hơn hệ số của x của đường thẳng y = – 0,5x + 2.

Nhận xét:

• Khi hệ số của x nhỏ hơn 0 thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox là góc nhọn.

• Hệ số của x càng nhỏ thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox càng nhỏ.

Giải Toán 8 trang 75 Tập 1

Luyện tập 3 trang 75 Toán 8 Tập 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng y = – 5x + 11.

Lời giải:

Hệ số góc của đường thẳng y = – 5x + 11 là – 5.

Giải Toán 8 trang 76 Tập 1

Hoạt động 4 trang 76 Toán 8 Tập 1: a) Quan sát Hình 23a, tìm hệ số góc của hai đường thẳng y = x và y = x + 1 và nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.

b) Quan sát Hình 23b, tìm hệ số góc của hai đường thẳng y = x và y = – x + 1 và nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng đó.

Lời giải:

a) • Hệ số góc của hai đường thẳng y = x là 1;

• Hệ số góc của hai đường thẳng y = x + 1 là 1.

Trong Hình 23a) góc tạo bởi trục Ox và đường thẳng y = x bằng góc tạo bởi trục Ox và đường thẳng y = x + 1.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ta suy ra hai đường thẳng y = x và y = x + 1 song song với nhau.

b) • Hệ số góc của hai đường thẳng y = x là 1;

• Hệ số góc của hai đường thẳng y = – x + 1 là – 1.

Trong Hình 23b) hai đường thẳng y = x và y = – x + 1 cắt nhau.

Luyện tập 4 trang 76 Toán 8 Tập 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng y = – 5x và y = – 5x + 2.

Lời giải:

• Đường thẳng y = – 5x có hệ số góc bằng – 5 và hệ số tự do bằng 0.

• Đường thẳng y = – 5x + 2 có hệ số góc bằng – 5 và hệ số tự do bằng 2.

Hai đường thẳng y = – 5x và y = – 5x + 2 có hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau nên hai đường thẳng đó song song.

Bài tập

Giải Toán 8 trang 77 Tập 1

Bài 1 trang 77 Toán 8 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai về đường thẳng d là đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)?

a) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{b}{a}$.

b) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng b.

c) Đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

d) Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\frac{b}{a}$.

Lời giải:

• Đường thẳng d cắt trục tung, tức là y = 0 nên ta có ax + b = 0.

Suy ra ax = – b hay x = $-\frac{b}{a}$

Khi đó, đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{b}{a}$.

Do đó, phát biểu a) đúng, phát biểu c) sai.

• Đường thẳng d cắt trục hoành, tức là x = 0 nên ta có y = a . 0 + b = 0 + b = b.

Khi đó, đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng b.

Do đó, phát biểu b) đúng, phát biểu d) sai.

Bài 2 trang 77 Toán 8 Tập 1: Chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song trong số các đường thẳng sau: y = – 2x + 5; y = – 2x; y = 4x – 1.

Lời giải:

• Đường thẳng y = – 2x + 5 có hệ số góc bằng – 2 và hệ số tự do bằng 5.

• Đường thẳng y = – 2x có hệ số góc bằng – 2 và hệ số tự do bằng 0.

• Đường thẳng y = 4x – 1 có có hệ số góc bằng 4 và hệ số tự do bằng – 1.

Hai đường thẳng y = – 2x + 5 và y = – 2x có hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau nên hai đường thẳng này song song.

Hai đường thẳng y = – 2x + 5 và y = 4x – 1 có hệ số góc khác nhau nên hai đường thẳng này cắt nhau.

Hai đường thẳng y = – 2x và y = 4x – 1 có hệ số góc khác nhau nên hai đường thẳng này cắt nhau.

Vậy các cặp đường thẳng cắt nhau là: y = – 2x + 5 và y = 4x – 1; y = – 2x và y = 4x – 1; các cặp đường thẳng song song là y = – 2x + 5 và y = – 2x.

Bài 3 trang 77 Toán 8 Tập 1: Vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x; y = 3x + 4; $y=-\frac{1}{2}x;y=-\frac{1}{2}x+3$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

* Đồ thị hàm số y = 3x.

Với x = 1 thì y = 3 . 1 = 3, ta được điểm A(1; 3) thuộc đồ thị của hàm số y = 3x.

Do đó, đồ thị của hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và A(1; 3).

* Đồ thị hàm số y = 3x + 4.

• Với x = 0 thì y = 3 . 0 + 4 = 0 + 4 = 4, ta được điểm B(0; 4) thuộc đồ thị của hàm số y = 3x + 4.

• Với y = 0 thì 3x + 4 = 0 suy ra $x=-\frac{4}{3}$, ta được điểm $C\left(-\frac{4}{3};0\right)$ thuộc đồ thị của hàm số y = 3x + 4.

Do đó, đồ thị của hàm số y = 2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm B(0; 4) và $C\left(-\frac{4}{3};0\right)$

* Đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}x$.

Với x = 2 thì $y=-\frac{1}{2}.2=-1$, ta được điểm M(2; – 1) thuộc đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x$.

Do đó, đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x$ là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và M(2; – 1).

* Đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3$.

• Với x = 0 thì $y=-\frac{1}{2}.0+3=0+3=3$, ta được điểm N(0; 3) thuộc đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3.$

• Với y = 0 thì $-\frac{1}{2}x+3=0$ suy ra x = 6, ta được điểm P(6; 0) thuộc đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3.$

Do đó, đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3.$ là đường thẳng đi qua hai điểm N(0; 3) và P(6; 0).

Ta vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x; y = 3x + 4; $y=-\frac{1}{2}x;y=-\frac{1}{2}x+3$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ như sau:

Bài 4 trang 77 Toán 8 Tập 1: Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số góc bằng – 1 và đi qua điểm M(1; 2). Sau đó vẽ đường thẳng tìm được trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Theo đề bài, đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) có hệ số góc bằng – 1 nên đường thẳng có dạng y = – x + b.

Mặt khác, đường thẳng đi qua điểm M(1; 2) nên ta có:

– 1 + b = 2 suy ra b = 3.

Do đó, đường thẳng cần tìm là y = – x + 3.

• Với x = 0 thì y = – 0 + 3 = 0 + 3 = 3, ta được điểm A(0; 3) thuộc đồ thị của hàm số y = – x + 3.

• Với y = 0 thì – x + 3 = 0 suy ra x = 3, ta được điểm B(3; 0) thuộc đồ thị của hàm số y = – x + 3.

Do đó, đồ thị của hàm số y = – x + 3 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 3) và B(3; 0).

Ta vẽ đồ thị hàm số như sau:

Bài 5 trang 77 Toán 8 Tập 1: a) Vẽ đường thẳng y = 2x – 1 trong mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm M(1; 3) và song song với đường thẳng y = 2x – 1. Sau đó vẽ đường thẳng tìm được trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = 2x – 1.

• Với x = 0 thì y = 2 . 0 – 1 = 0 – 1 = – 1, ta được điểm A(0; – 1) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x – 1.

• Với y = 0 thì 2x – 1 = 0 suy ra $x=\frac{1}{2}$, ta được điểm $B\left(\frac{1}{2};0\right)$ thuộc đồ thị của hàm số y = 2x – 1.

Do đó, đồ thị của hàm số y = 2x – 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; – 1) và $B\left(\frac{1}{2};0\right)$

Ta vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1 như sau:

b) Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) song song với đường thẳng y = 2x – 1 nên đường thẳng có dạng y = 2x + b.

Mặt khác, đường thẳng y = 2x + b đi qua điểm M(1; 3) nên 2 . 1 + b = 3 suy ra b = 1.

Do đó, đường thẳng cần tìm là y = 2x + 1.

• Với x = 0 thì y = 2 . 0 + 1 = 0 + 1 = 1, ta được điểm C(0; 1) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x + 1.

• Với y = 0 thì 2x + 1 = 0 suy ra $x=-\frac{1}{2}$, ta được điểm $D\left(-\frac{1}{2};0\right)$ thuộc đồ thị của hàm số y = 2x + 1.

Do đó, đồ thị của hàm số y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm C(0; 1) và $D\left(-\frac{1}{2};0\right)$

Ta vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1 như sau:

Bài 6 trang 77 Toán 8 Tập 1: Một phần đường thẳng d₁, d₂ ở Hình 24 lần lượt biểu thị tốc độ (đơn vị: m/s) của vật thứ nhất, vật thứ hai theo thời gian t (s).

a) Nêu nhận xét về tung độ giao điểm của hai đường thẳng d₁, d₂. Từ đó, nêu nhận xét về tốc độ ban đầu của hai chuyển động.

b) Trong hai đường thẳng d₁, d₂, đường thẳng nào có hệ số góc lớn hơn?

c) Từ giây thứ nhất trở đi, vật nào có tốc độ lớn hơn? Vì sao?

Lời giải:

a) Tung độ giao điểm của hai đường thẳng d₁, d₂ hay hai đường thẳng d₁, d₂ đều cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Do đó, tốc độ ban đầu của hai chuyển động bằng nhau.

b) Qua điểm 2 trên trục tung, ta kẻ đường thẳng d // Ox (như hình vẽ).

Trong hình vẽ, ta thấy góc tạo bởi đường thẳng d và đường thẳng d₂ lớn hơn góc tạo bởi đường thẳng d và đường thẳng d₁.

Mà d // Ox nên suy ra góc tạo bởi đường thẳng Ox và đường thẳng d₂ lớn hơn góc tạo bởi đường thẳng Ox và đường thẳng d₁.

Do đó, trong hai đường thẳng d₁, d₂, đường thẳng d₂ có hệ số góc lớn hơn.

c)

Trên hai đường thẳng d₁, d₂ ta lấy hai điểm M, N bất kì có cùng hoành độ (với t > 1), ta kẻ hai đường thẳng vuông góc với trục tung.

Do đó, tung độ của điểm N lớn hơn tung độ của điểm M.

Khi đó, vật thứ hai có tốc độ lớn hơn.

Vậy từ giây thứ nhất trở đi, vật thứ hai có tốc độ lớn hơn.

Lý thuyết Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)

1. Đồ thị của hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a$\ne$0) là một đường thẳng.

Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax + b (a$\ne$0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0).

Ví dụ: Cho hàm số y = 2x – 3 có hai điểm A(1, -1) và B(2; 1) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x – 3.

2. Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

Hàm số y = ax (a$\ne$0)

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax (a$\ne$0), ta có thể xác định điểm A(1; a) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O và A.

Hàm số y = ax + b (a$\ne$0)

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a$\ne$0, b$\ne$0), ta có thể xác định hai điểm P(0; b) và Q$\left(-\frac{b}{a};0\right)$ rồi vẽ dường thẳng đi qua hai điểm đó.

Ví dụ: Cho hàm số y = -2x + 4

Với x = 0 thì y = 4, ta được điểm P(0;4)

Với y = 0 thì x = 22, ta được điểm Q(2;0)

Vậy đồ thị hàm số y = -2x + 4 là đường thẳng đi qua hai điểm P(0;4) và Q(2;0)

3. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0)

Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0) và trục Ox.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0). Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b và trục Ox, T là một điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương.

Góc $\alpha$ tạo bởi hai tia Ax và AT gọi là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox (hoặc nói đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox một góc $\alpha$)

Hệ số góc

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0). Hệ số a gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0).

Nhận xét:

Khi hệ số góc a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0) và trục Ox là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn.

Khi hệ số góc a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a$\ne$0) và trục Ox là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn.

Ứng dụng của hệ số góc

Cho d: y = ax + b (a$\ne$0) và d’: y = a’x + b’ (a’$\ne$0)

a. d // d’ $\iff$ a = a’, b $\ne$b’.

b.$d\equiv d^{\prime }\iff a=a^{\prime },b=b^{\prime }$

c. d cắt d’ $\iff$ a $\ne$a’

Ví dụ: y = 2x + 1, y = 2x + 3 là hai đường thẳng song song vì có hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau.

Xem thêm lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số bậc nhất y = ax + b (a khác 0)

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Hình chóp tam giác đều

Bài 2: Hình chóp tứ giác đều

Bài tập cuối chương 4