Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Đường trung bình của tam giác

Giải Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

Giải Toán 8 trang 62 Tập 2

Khởi động trang 62 Toán 8 Tập 2: Hình 28 gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng MN với M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, AC.

Hai đoạn thẳng MN và BC có mối liên hệ gì?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // BC và $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}.$

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 62 Toán 8 Tập 2: Quan sát tam giác ABC ở Hình 29 và cho biết hai đầu mút D, E của đoạn thẳng DE có đặc điểm gì.

Lời giải:

Quan sát Hình 29, ta thấy D chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn thằng DA và DB bằng nhau, nên D là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Tương tự, ta cũng có E là trung điểm của đoạn thẳng AC.

Luyện tập 1 trang 62 Toán 8 Tập 2: Vẽ tam giác ABC và các đường trung bình của tam giác đó.

Lời giải:

Bước 1. Vẽ tam giác ABC.

Bước 2. Lấy ba điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

Bước 3. Nối DF, FE, ED ta được ba đường trung bình của tam giác ABC.

II. Tính chất

Giải Toán 8 trang 63 Tập 2

Hoạt động 2 trang 63 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có MN là đường trung bình (Hình 31).

a) MN có song song với BC hay không? Vì sao?

b) Tỉ số $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC.

Khi đó, $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NC}}\left(=1\right).$

Xét ∆ABC có $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NC}}=\frac{1}{2}$ nên MN // BC (định lí Thalès đảo).

b) Do M là trung điểm của AB nên $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}$

Xét ∆ABC với MN // BC, ta có:

$\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}$ (hệ quả của định lí Thalès).

Giải Toán 8 trang 64 Tập 2

Luyện tập 2 trang 64 Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:

a) M, N, P thẳng hàng;

b) $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}\right).$

Lời giải:

a) Vì M và P lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, AC nên MP là đường trung bình của tam giác ADC.

Suy ra MP // CD.

Mà AB // CD nên MP // AB // CD (1)

Tương tự, ta cũng có PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra PN // AB // CD (2)

Từ (1) và (2), theo tiên đề Euclid, ta có MPvàPN trùng nhau hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.

b) Vì MP là đường trung bình của tam giác ADC nên $\mathrm{MP}=\frac{1}{2}\mathrm{DC}.$

Vì PN là đường trung bình của tam giác ABC nên $\mathrm{PN}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}.$

Ta có: $\mathrm{MN}=\mathrm{MP}+\mathrm{PN}=\frac{1}{2}\mathrm{DC}+\frac{1}{2}\mathrm{AB}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{DC}+\mathrm{AB}\right)$

Vậy $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}\right).$

Bài tập

Giải Toán 8 trang 65 Tập 2

Bài 1 trang 65 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, điểm N thuộc cạnh AC thoả mãn MN // BC. Chứng minh NA = NC và $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}.$

Lời giải:

Xét ∆ABCvới MN // BC, ta có: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NC}}$ (định lí Thalès)

Mà AM = MB (do M là trung điểm của AB) nên AN = NC.

Xét ∆ABCvới MN // BC, ta có: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Mà $\mathrm{AM}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}$ (do M là trung điềm của AB)

Suy ra $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}.$

Bài 2 trang 65 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho AP = PN = NB. Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:

a) MN // CP;

b) AQ = QM;

c) CP = 4PQ.

Lời giải:

a) Do PN = NB nên N là trung điểm của BP.

Do AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên M là trung điểm của BC.

Xét ∆BCP có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BP nên MN là đường trung bình của ∆BCP

Suy ra MN // CP.

b) Do AP = PN nên P là trung điểm của AN.

Mà MN // CP, Q ∈ CP nên MN // PQ.

Xét ∆AMN có PQ đi qua P là trung điểm của AN và PQ // MN

Suy ra Q là trung điểm của AM nên AQ = QM.

c) Xét ∆AMN có P, Q lần lượt là trung điểm của AN, AM nên là đường trung bình của ∆AMN. Do đó $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}\mathrm{MN}.$

Lại có MN là đường trung bình của ∆BCP nên $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{CP}.$

Khi đó $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{CP}=\frac{1}{4}\mathrm{CP}$

Suy ra CP = 4PQ.

Bài 3 trang 65 Toán 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Cho AC = BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

c) Cho AC ⊥ BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm AB, BC nên MN là đường trung bình của ∆ABC

Suy ra MN//AC và $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$ (1)

Xét ∆ADC có P, Q lần lượt là trung điểm DC, AD nên PQ là đường trung bình của ∆ADC

Suy ra PQ//AC và $\mathrm{PQ}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ; MN = PQ nên MNPQ là hình bình hành.

b) Xét tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm AB, AD nên MQ là đường trung bình của ∆ABD

Suy raMQ // BD và $\mathrm{MQ}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}$

Mà $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}$ và AC = BD nên MN = MQ.

Hình bình hành MNPQ có MN = MQ nên MNPQ là hình thoi.

c) Ta có MN // AC (câu a), MQ // BD (câu b) và AC ⊥ BD (giả thiết)

Suy ra MN ⊥ MQ hay $\widehat{\mathrm{NMQ}}=90°$

Hình bình hành MNPQ có $\widehat{\mathrm{NMQ}}=90°$ nên là hình chữ nhật.

Bài 4 trang 65 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

⦁Xét ∆ABH có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BH nên MN là đường trung bình ∆ABH.

Suy ra MN//AH (1)

Tương tự, xét ∆AHC ta cũng có PQ là đường trung bình ∆AHC nên PQ//AH (2)

Từ (1) và (2) ta có MN // PQ // AH.

⦁ Chứng minh tương tự như trên với ∆ABC và ∆HBC, ta cũng có MQ, NP lần lượt là đường trung bình của ∆ABC và ∆HBC.

Do đó MQ // BC và NP // BC. Suy ra MQ // NP // BC.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ và MQ // NP nên MNPQ là hình bình hành.

⦁ Ta có MN//AH và AH ⊥ BC (do H là trực tâm của ∆ABC) nên MN ⊥ BC

Lại có NP // BC nên suy ra MN ⊥ NP hay $\widehat{\mathrm{MNP}}=90°.$

Hình bình hành MNPQ có $\widehat{\mathrm{MNP}}=90°.$ nên MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 5 trang 65 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 36, ba cạnh màu vàng AB, BC, CA gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng màu xanh MN là một đường trung bình của tam giác đó. Bạn Duyên đứng ở phía dưới đo khoảng cách giữa hai chân cột số và số , từ đó ước lượng được độ dài đoạn thẳng MN khoảng 4,5 m. Khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Hỏi khoảng cách đó khoảng bao nhiêu mét?

Lời giải:

Xét ∆ABC có MN là đường trung bình của ∆ABC nên $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$

Suy ra BC = 2MN = 2.4,5 = 9(m).

Vậy khoảng cách giữa hai mép dưới của mái khoảng 9 m.

Lý thuyết Đường trung bình của tam giác

1. Định nghĩa

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

2. Tính chất

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Nhận xét: Tính chất trọng tâm của tam giác: “Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”.

Sơ đồ tư duy Đường trung bình của tam giác

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Ứng dụng của định lí Thalès trong tam giác

Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 5: Tam giác đồng dạng

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác