Bài 4 trang 65 Toán 8 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

Bài 4 trang 65 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

⦁Xét ∆ABH có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BH nên MN là đường trung bình ∆ABH.

Suy ra MN//AH (1)

Tương tự, xét ∆AHC ta cũng có PQ là đường trung bình ∆AHC nên PQ//AH (2)

Từ (1) và (2) ta có MN // PQ // AH.

⦁ Chứng minh tương tự như trên với ∆ABC và ∆HBC, ta cũng có MQ, NP lần lượt là đường trung bình của ∆ABC và ∆HBC.

Do đó MQ // BC và NP // BC. Suy ra MQ // NP // BC.

Tứ giác MNPQ có MN // PQ và MQ // NP nên MNPQ là hình bình hành.

⦁ Ta có MN//AH và AH ⊥ BC (do H là trực tâm của ∆ABC) nên MN ⊥ BC

Lại có NP // BC nên suy ra MN ⊥ NP hay $\widehat{\mathrm{MNP}}=90°.$

Hình bình hành MNPQ có $\widehat{\mathrm{MNP}}=90°.$ nên MNPQ là hình chữ nhật.