Toán 8 Bài 5 (Cánh diều): Tam giác đồng dạng

Giải Toán 8 Bài 5: Tam giác đồng dạng

Giải Toán 8 trang 70 Tập 2

Khởi động trang 70 Toán 8 Tập 2: Trong bức ảnh ở Hình 46, các tam giác được tạo dựng với hình dạng giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau.

Các tam giác trong Hình 46 gợi nên những tam giác có mối liên hệ gì?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Các tam giác trong Hình 46 gợi nên những tam giác đồng dạng với nhau.

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 70 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MA, MB, MC (Hình 47).

a) So sánh các cặp góc: $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ và $\widehat{\mathrm{BAC}};$$\widehat{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ và $\widehat{\mathrm{CBA}};$$\widehat{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ và $\widehat{\mathrm{ACB}}.$

b) So sánh các tỉ số: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}};\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}};\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

Lời giải:

a) Xét ∆ABM có A’, B’ lần lượt là trung điểm của MA, MB nên A’B’ là đường trung bình của ∆ABM.

Do đó A’B’ // AB và $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\frac{\mathrm{AB}}{2}$(tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{BAC}}$ (đồng vị) và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}.$

Chứng minh tương tự ta cũng có $\widehat{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}A}=\widehat{\mathrm{CBA}};\widehat{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$và $\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2};\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}=\frac{1}{2}.$

Vậy hai tam giác A’B’C’ và ABC có:

a) $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{BAC}};\widehat{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}A}=\widehat{\mathrm{CBA}};\widehat{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{ACB}}.$

b) $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

Giải Toán 8 trang 71 Tập 2

Luyện tập 1 trang 71 Toán 8 Tập 2: Cho ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC và AB = 3, BC = 2, CA = 4, A’B’ = x, B’C’ = 3, C’A’ = y. Tìm x và y.

Lời giải:

Vì ∆A’B’C’ᔕ ∆ABC nên $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}$

Mà BC = 2 và B’C’ = 3 nên ta có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{2}$

Do đó $x=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\frac{3}{2}\mathrm{AB}=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2};$

$y=C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}=\frac{3}{2}\mathrm{CA}=\frac{3}{2}\cdot 4=6.$

II. Tính chất

Hoạt động 2 trang 71 Toán 8 Tập 2: Từ định nghĩa hai tam giác đồng dạng, hãy cho biết:

a) Mỗi tam giác có đồng dạng với chính nó hay không;

b) Nếu ∆A’B’C’ đồng dạng với ∆ABC thì ∆ABC có đồng dạng với ∆A’B’C’ hay không;

c) Nếu ∆A’’B’’C’’ đồng dạng với ∆A’B’C’ và ∆A’B’C’ đồng dạng với ∆ABC thì ∆A’’B’’C’’ có đồng dạng với ∆ABC hay không.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có $\hat{A}=\hat{A};\hat{B}=\hat{B};\hat{C}=\hat{C}$ và $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CA}}=1$ nên ∆ABC đồng dạng với chính nó.

b) Do ∆A’B’C’ᔕ ∆ABC nên $\widehat{A^{\text{'}}}=\hat{A};\widehat{B^{\text{'}}}=\hat{B};\widehat{C^{\text{'}}}=\hat{C}$ và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}$

Suy ra $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}};\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}};\hat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$ và $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{BC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{CA}}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$

Do đó ∆ABCᔕ ∆A’B’C’.

c) Ta có: $\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\cdot \frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}};$

$\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\cdot \frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}};$

$\frac{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}=\frac{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}\cdot \frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

Do ∆A’’B’’C’’ᔕ ∆ A’B’C’ nên $\hat{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}=\widehat{A^{\text{'}}};\hat{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}=\widehat{B^{\text{'}}};\hat{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}=\widehat{C^{\text{'}}}$và $\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.$

Do ∆A’B’C’ᔕ ∆ABC nên $\widehat{A^{\text{'}}}=\hat{A};\widehat{B^{\text{'}}}=\hat{B};\widehat{C^{\text{'}}}=\hat{C}$và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

Suy ra $\hat{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}=\hat{A};\hat{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}=\hat{B};\hat{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}=\hat{C}$>và $\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

Do đó ∆A’’B’’C’’ ᔕ ∆ABC.

Giải Toán 8 trang 72 Tập 2

Hoạt động 3 trang 72 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 50). Một đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại B’, C’. Chứng minh ∆AB’C’ ᔕ ∆ABC.

Lời giải:

Vì B’C’ // BC nên ta có:

$\widehat{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$(hai góc đồng vị);

$\widehat{{\mathrm{AC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$(hai góc đồng vị);

$\frac{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{\mathrm{AC}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}$(hệ quả của định lí Thalès).

Xét ∆AB’C’ và ∆ABC có:

$\widehat{B^{\text{'}}{\mathrm{AC}}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{BAC}};\widehat{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{ABC}};\widehat{{\mathrm{AC}}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\widehat{\mathrm{ACB}};\frac{{\mathrm{AB}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{\mathrm{AC}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}.$

Suy ra ∆AB’C’ᔕ ∆ABC.

Luyện tập 2 trang 72 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh ∆AB’C’ ᔕ ∆ABC.

Lời giải:

Xét ∆ABC có B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC nên B’C’ là đường trung bình của ∆ABC

Suy ra B’C’ // BC. Do đó ∆AB’C’ ᔕ ∆ABC.

Bài tập

Giải Toán 8 trang 73 Tập 2

Bài 1 trang 73 Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP và $\hat{A}=45°,\hat{B}=60°.$Tính các góc C, M, N, P.

Lời giải:

Xét ∆ABC ta có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}=180°-45°-60°=75°.$

Vì ∆ABC ᔕ ∆MNP nên

$\hat{A}=\hat{M}=45°;\hat{B}=\hat{N}=60°;\hat{C}=\hat{P}=75°.$

Vậy $\hat{C}=\hat{P}=75°;\hat{M}=45°;\hat{N}=60°.$

Bài 2 trang 73 Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP và AB = 4, BC = 6, CA = 5, MN = 5. Tính độ dài các cạnh NP, PM.

Lời giải:

Vì ∆ABC ᔕ∆MNPnên $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PM}}$

Mà AB = 4 và MN = 5 nên $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PM}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{4}{5}$

Do vậy: $\mathrm{NP}=\frac{5}{4}\mathrm{BC}=\frac{5}{4}\cdot 6=\frac{15}{2};\mathrm{PM}=\frac{5}{4}\mathrm{CA}=\frac{5}{4}\cdot 5=\frac{25}{4}.$

Vậy $\mathrm{NP}=\frac{15}{2};\mathrm{PM}=\frac{25}{4}.$

Bài 3 trang 73 Toán 8 Tập 2: Ba vị trí A, B, C trong thực tiễn lần lượt được mô tả bởi ba đỉnh của tam giác A’B’C’ trên bản vẽ. Biết tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $\frac{1}{1000000}$ và A’B’ = 4 cm, B’C’ = 5 cm, C’A’ = 6 cm. Tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B, B và C, C và A trong thực tiễn (theo đơn vị kilômét).

Lời giải:

Đổi đơn vị:

A’B’ = 4 cm = 0,00004 km;

B’C’ = 5 cm = 0,00005 km;

C’A’ = 6 cm = 0,00006 km.

Vì ∆A’B’C’ đồng dạng với ∆ABCtheo tỉ số $\frac{1}{1000000}$ nên ta có:

$\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{1000000}$

Do vậy khoảng cách giữa hai vị trí A và B, B và C, C và A trong thực tiễn là:

AB = 0,00004 . 1 000 000 = 40 (km);

BC = 0,00005 . 1 000 000 = 50 (km);

AB = 0,00006 . 1 000 000 = 60 (km).

Bài 4 trang 73 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 54, độ rộng của khúc sông được tính bằng khoảng cách giữa hai vị trí C, D. Giả sử chọn được các vị trí A, B, E sao cho ∆ABE ᔕ ∆ACD và đo được AB = 20 m, AC = 50 m, BE = 8 m. Tính độ rộng của khúc sông đó.

Lời giải:

Vì ∆ABE ᔕ ∆ACD nên $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{DA}}$

Mà AB = 20m, AC = 50 m nên ta có $\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$

Do vậy độ rộng của khúc sông đó là CD là: $\mathrm{CD}=\frac{5}{2}\mathrm{BE}=\frac{5}{2}\cdot 8=20$(m).

Bài 5 trang 73 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 55), các điểm M, N thuộc cạnh AB thoả mãn AM = MN = NB, các điểm P, Q thuộc cạnh AC thoả mãn AP = PQ = QC. Tam giác AMP đồng dạng với những tam giác nào?

Lời giải:

Vì AM = MN; AP = PQ nên M, P lần lượt là trung điểm của AN, AQ.

Xét ∆ANQ có M, P lần lượt là trung điểm của AN, AQ nên MP là đường trung bình của ∆ANQ.

Suy ra MP // NQ nên ∆AMP ᔕ ∆ANQ.

Do AM = MN = NB; AP = PQ = QC nên ta có $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{3}$

Xét ∆ABC có $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}$ nên MP // BC (định lí Pythagore đảo)

Do đó ∆AMP ᔕ ∆ABC.

Bài 6 trang 73 Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua D lần lượt cắt đoạn thẳng BC và tia AB tại M và N sao cho điểm M nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh:

a) ∆NBM ᔕ ∆NAD;

b) ∆NBM ᔕ ∆DCM;

c) ∆NAD ᔕ ∆DCM.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC // AD hay BM // AD.

Do BM // AD nên ∆NBM ᔕ ∆NAD.

b) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay BN // CD.

Do BN // CD nên ∆NBM ᔕ ∆DCM.

c) Do ∆NBM ᔕ ∆NAD nên ∆NAD ᔕ ∆NBM

Mà ∆NBM ᔕ ∆DCM nên ∆NAD ᔕ ∆DCM.

Lý thuyết Tam giác đồng dạng

1. Tam giác đồng dạng

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\widehat{A^{\prime }}=\hat{A},\widehat{B^{\prime }}=\hat{B},\widehat{C^{\prime }}=\hat{C}$ và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$

Kí hiệu: $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$ là tỉ số đồng dạng của $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $\mathrm{\Delta }ABC$.

Nếu $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\mathrm{\Delta }ABC$ thì $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ theo tỉ số đồng dạng là 1.

2. Tính chất

Tính chất 1. Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó.

Tính chất 2. Nếu tam giác $\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ thì $\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC$.

3. Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,PN//BC,P\in AB,N\in AC\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }APN\backsim \mathrm{\Delta }ABC\end{array}$

Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.

Sơ đồ tư duy Tam giác đồng dạng

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng