Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài giải Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Giải toán 8 trang 18 Tập 1

Khởi động trang 18 Toán 8 Tập 1: Diện tích của hình vuông MNPQ (Hình 4) có thể được tính theo những cách nào?

Lời giải:

Ta đặt tên các điểm A, B, C, D như hình vẽ:

Diện tích của hình vuông MNPQ có thể được tính theo những cách sau:

Cách 1. Tính theo tổng diện tích của 4 hình AMCE, ANDE, BEDP, BECQ.

Cách 2. Tính theo tổng diện tích của 2 hình: MNDC, CDPQ.

Cách 3. Tính theo tổng diện tích của 2 hình: ABQM, ABPN.

Cách 4. Tìm độ dài một cạnh của hình vuông MNPQ rồi tính diện tích.

Hoạt động 1 trang 18 Toán 8 Tập 1: Xét hai biểu thức: P = 2(x + y) và Q = 2x + 2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:

a) Tại x = 1; y = −1;

b) Tại x = 2; y = −3.

Lời giải:

a) Thay x = 1; y = −1 vào biểu thức P và Q, ta được:

• P = 2 . [1 + (−1)] = 2 . 0 = 0;

• Q = 2 . 1 + 2 . (−1) = 2 – 2 = 0.

Vậy tại x = 1; y = −1 thì P = Q.

b) Thay x = 2; y = −3 vào biểu thức P và Q, ta được:

• P = 2 . [2 + (−3)] = 2 . (−1) = −2;

• Q = 2 . 2 + 2 . (−3) = 4 – 6 = −2.

Vậy tại x = 2; y = −3 thì P = Q.

Luyện tập 1 trang 18 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng: x(xy² + y) – y(x²y + x) = 0.

Lời giải:

Ta có x(xy² + y) – y(x²y + x) = x . xy² + x . y – y . x²y – y . x

= x²y² + xy – x²y² – xy = (x²y² – x²y²) + (xy – xy) = 0 + 0 = 0 (đpcm)

Hoạt động 2 trang 18 Toán 8 Tập 1: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

a) (a + b)(a + b);

b) (a – b)(a – b).

Lời giải:

a) (a + b)(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a² + 2ab + b²;

b) (a – b)(a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a² – 2ab + b².

Giải toán 8 trang 19 Tập 1

Luyện tập 2 trang 19 Toán 8 Tập 1: Tính:

a) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$;

b) (2x + y)²;

c) (3 – x)²;

d) (x – 4y)².

Lời giải:

a) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2=x^2+2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=x^2+x+\frac{1}{4}$;

b) (2x + y)² = (2x)² + 2 . 2x . y + y² = 4x² + 4xy + y²;

c) (3 – x)² = 3² – 2 . 3 . x + x²;

d) (x – 4y)² = x² – 2 . x . 4y + (4y)² = x² – 8xy + 16y².

Luyện tập 3 trang 19 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) $y^2+y+\frac{1}{4}$;

b) y² + 49 – 14y.

Lời giải:

a) $y^2+y+\frac{1}{4}=y^2+2.\frac{1}{2}y+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2$;

b) y² + 49 – 14y = y² – 2 . 7 . y + 7² = (y – 7)².

Luyện tập 4 trang 19 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: 49².

Lời giải:

Ta có 49² = (50 – 1)2 = 50² – 2 . 50 . 1 + 1²

= 2500 – 100 + 1 = 2400 + 1 = 2401.

Hoạt động 3 trang 19 Toán 8 Tập 1: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính: (a – b)(a + b).

Lời giải:

Ta có: (a – b)(a + b) = a . a + a . b – b . a + b . b = a² – b².

Giải toán 8 trang 20 Tập 1

Luyện tập 5 trang 20 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 9x² – 16;

b) 25 – 16y².

Lời giải:

a) 9x² – 16 = (3x)² – 4² = (3x + 4)(3x – 4);

b) 25 – 16y² = 5² – (4y)² = (5 + 4y)(5 – 4y).

Luyện tập 6 trang 20 Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (a – 3b)(a + 3b);

b) (2x + 5)(2x – 5);

c) (4y – 1)(4y + 1).

Lời giải:

a) (a – 3b)(a + 3b) = a² – (3b)² = a² – 9b²;

b) (2x + 5)(2x – 5) = (2x)² – 5² = 4x² – 25;

c) (4y – 1)(4y + 1) = (4y)² – 1 = 16y² – 1.

Luyện tập 7 trang 20 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: 48 . 52.

Lời giải:

Ta có: 48 . 52 = (50 – 2)(50 + 2) = 50² – 2² = 2500 – 4 = 2496.

Hoạt động 4 trang 20 Toán 8 Tập 1: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

a) (a + b)(a + b)²;

b) (a – b)(a – b)².

Lời giải:

a) (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²)

= a . a² + a . 2ab + a . b² + b . a² + b . 2ab + b . b²

= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

b) (a – b)(a – b)² = (a – b)(a² – 2ab + b²)

= a . a² – a . 2ab + a . b² – b . a² + b . 2ab – b . b²

= a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Giải Toán 8 trang 21 Tập 1

Luyện tập 8 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tính:

a) (3 + x)³;

b) (a + 2b)³;

c) (2x – y)³.

Lời giải:

a) (3 + x)³ = 3³ + 3 . 3² . x + 3 . 3 . x² + x³ = 27 + 27x + 9x² + x³;

b) (a + 2b)³ = a³ + 3 . a² . 2b + 3 . a . (2b)² + (2b)³

= a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³;

c) (2x – y)³ = 2x³ – 3 . (2x)² . y + 3 . 2x . y² – y³

= 2x³ – 12x²y + 6xy² – y³.

Luyện tập 9 trang 21 Toán 8 Tập 1: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu: 8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³.

Lời giải:

Ta có: 8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³

= (2x)³ – 3 . (2x)² . 3y + 3 . 2x . (3y)² – (3y)³

= (2x – 3y)³.

Luyện tập 10 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: 101³ – 3 . 101² + 3 . 101 – 1.

Lời giải:

Ta có 101³ – 3 . 101² + 3 . 101 – 1

= 101³ – 3 . 101² . 1 + 3 . 101 . 1² – 1³

= (101 – 1)³ = 100³ = 1 000 000.

Hoạt động 5 trang 21 Toán 8 Tập 1: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:

a) (a + b)(a² – ab + b²);

b) (a – b)(a² + ab + b²).

Lời giải:

a) (a + b)(a² – ab + b²) = a . a² – a . ab + a . b² + b . a² – b . ab + b . b²

= a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³.

b) (a – b)(a² + ab + b²) = a . a² + a . ab + a . b² – b . a² – b . ab – b . b²

= a³ + a²b + a²b – a²b – a²b – b³ = a³ – b³.

Giải Toán 8 trang 22 Tập 1

Luyện tập 11 trang 22 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 27x³ + 1;

b) 64 – 8y³.

Lời giải:

a) 27x³ + 1 = (3x)³ + 1³ = (3x + 1)[(3x)² – 3x . 1 + 1²]

= (3x + 1)(9x² – 3x + 1);

b) 64 – 8y³ = 4³ – (2y)³ = (4 + 2y)(4 – 2y).

Bài tập:

Giải Toán 8 trang 23 Tập 1

Bài 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 4x² + 28x + 49;

b) 4a² + 20ab + 25b²;

c) 16y² – 8y + 1;

d) 9x² – 6xy + y².

Lời giải:

a) 4x² + 28x + 49 = (2x)² + 2 . 2x . 7 + 7² = (2x + 7)²;

b) 4a² + 20ab + 25b² = (2a)² + 2 . 2a . 5b + (5b)² = (2a + 5b)²;

c) 16y² – 8y + 1 = (4y)² – 2 . 4y . 1 + 1² = (4y – 1)²;

d) 9x² – 6xy + y² = (3x)² – 2 . 3x . y + y² = (3x – y)².

Bài 2 trang 23 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) a³ +12a² + 48a + 64;

b) 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³;

c) x³ – 9x² + 27x – 27;

d) 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³.

Lời giải:

a) a³ +12a² + 48a + 64 = a³ + 3 . a² . 4 + 3 . a . 4² + 4³ = (a + 4)³;

b) 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

= (3x)³ + 3 . (3x)² . 2y + 3 . 3x . (2y)² + (2y)³

= (3x + 2y)³;

c) x³ – 9x² + 27x – 27 = x³ – 3 . x² . 3 + 3 . x . 3² – 3³ = (x – 3)³;

d) 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³ = (2a)³ – 3 . (2a)²b + 3 . 2ab² – b³ = (2a – b)³.

Bài 3 trang 23 Toán 8 Tập 1: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 25x² – 16;

b) 16a² – 9b²;

c) 8x³ + 1;

d) 125x³ + 27y³;

e) 8x³ – 125;

g) 27x³ – y³.

Lời giải:

a) 25x² – 16 = (5x)² – 4² = (5x + 4)(5x – 4);

b) 16a² – 9b² = (4a)² – (3b)² = (4a + 3b)(4a – 3b);

c) 8x³ + 1 = (2x)³ + 1 = (2x + 1)[(2x)² + 2x . 1 + 1²] = (2x + 1)(4x² + 2x + 1);

d) 125x³ + 27y³ = (5x)³ + (3y)³ = (5x + 3y)[(5x)² + 5x . 3y + (3y)²]

= (5x + 3y)(25x² + 15xy + 9y²);

e) 8x³ – 125 = (2x)³ – 5³ = (2x + 5)[(2x)² + 2x . 5 + 5²]

= (2x + 5)(4x² + 10x + 25);

g) 27x³ – y³ = (3x)³ – y³ = (3x + y)(3x – y).

Bài 4 trang 23 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức:

a) A = x² + 6x + 10 tại x = −103;

b) B = x³ + 6x² + 12x + 12 tại x = 8.

Lời giải:

a) Ta có A = x² + 6x + 10 = x² + 6x + 9 + 1 = (x + 3)² + 1.

Thay x = −103 vào biểu thức A, ta được:

A = (−103 + 3)² + 1 = (−100)² + 1 = 10 000 + 1 = 10 001.

Vậy A = 10 001 tại x = −103.

b) Ta có B = x³ + 6x² + 12x + 12 = x³ + 3 . x² . 2 + 3 . x . 2² + 2³ + 4

= (x + 2)³ + 4.

Thay x = 8 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 + 2)³ + 4 = 10³ + 4 = 1004.

Vậy B = 1004 tại x = 8.

Bài 5 trang 23 Toán 8 Tập 1: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1);

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1);

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4);

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4).

Lời giải:

a) Ta có C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

= [(3x – 1) – (3x + 1)]²= (3x – 1 – 3x – 1)²

= (– 1 – 1)²= (–2)²= 4.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)² + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)²] – 12(x² + 1)

= (x + 2 – x + 2)[(x + 2)² + x² – 2² + (x – 2)²] – 12x² – 12

= 4(x² + 4x + 4 + x² – 4 +x²– 4x + 4) – 12x² – 12

= 4(3x² + 4) – 12x² – 12

= 12x² + 16 – 12x² – 12 = 4.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4)

= (x³ + 3³) – (x³ – 2³) = x³ + 27 – x³+ 8 = 35.

Vậy biểu thức E không phụ thuộc vào biến x.

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4)

= [(2x)³ – 1³]– 8(x³ + 2³) = (8x³ – 1) – 8(x³ + 8)

= 8x³ – 1–8x³ – 64 = – 65.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

Bài 6 trang 23 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh: (0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 024.

Lời giải:

Ta có (0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 024

= (0,76 + 0,24)³ – 3 . 0,76 . 024 . (0,76 + 024) + 3 . 0,76 . 024

= 1³ – 3 . 0,76 . 024 . 1 + 3 . 0,76 . 024

= 1 – 3 . 0,76 . 024 + 3 . 0,76 . 024 = 1.

Vậy (0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 024 = 1.

Bài giảng Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ - Cánh diều

Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức

Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị như nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói P = Q là một đồng nhất thức hay là một hằng đẳng thức.

Ví dụ: $a+b=b+a;a(a+2)=a^2+2a$ là những hằng đẳng thức.

$a^2-1=3a;a(a-1)=2a$ không phải là những hằng đẳng thức.

1. Bình phương của một tổng là gì?

${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

Ví dụ: ${101}^2=(100+1{)}^2={100}^2+\mathrm{2.100.1}+1^2=10201$

2. Bình phương của một hiệu là gì?

${\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

Ví dụ: ${99}^2=(100-1{)}^2={100}^2-\mathrm{2.100.1}+1^2=9801$

3. Hiệu hai bình phương là gì?

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Ví dụ: ${101}^2-{99}^2=(101-99)(101+99)=2.200=400$

4. Lập phương của một tổng là gì?

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Ví dụ: ${\left(x+3\right)}^3=x^3+3x^2.3+3x{.3}^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27$

5. Lập phương của một hiệu là gì?

${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

Ví dụ: ${\left(x-3\right)}^3=x^3-3x^2.3+3x{.3}^2-3^3=x^3-9x^2+27x-27$

6. Tổng hai lập phương là gì?

$A^3+B^3=(A+B)\left(A^2-AB+B^2\right)$

Ví dụ: $x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$

7. Hiệu hai lập phương là gì?

$A^3-B^3=(A-B)\left(A^2+AB+B^2\right)$

Ví dụ: $x^3-8=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Phân thức đại số