Toán 8 Bài 2 (Cánh diều): Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

Giải Toán 8 Bài 2: Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

Giải Toán 8 trang 45 Tập 2

Khởi động trang 45 Toán 8 Tập 2: Phương trình bậc nhất một ẩn giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong toán học cũng như trong thực tiễn.

Chẳng hạn, trong kho tàng văn hoá dân gian Hy Lạp có bài toán cổ như sau:

Một người hỏi nhà toán học Pythagore rằng ông có bao nhiêu học trò. Ông trả lời: “Một nửa số học trò của tôi học Toán, một phần tư học Nhạc, một phần bảy đăm chiêu, ngoài ra có ba cô gái”.

(Nguồn: V. D. Tchit-chia-cốp, Những bài toán cổ, NXB Giáo dục, 2004)

Hỏi nhà toán học Pythagore có bao nhiêu học trò?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Gọi số học trò nhà toán học Pythagore có là x (người) (x ∈ ℕ^*).

Số học trò học Toán là: $\frac{1}{2}x$ (người).

Số học trò học Nhạc là: $\frac{1}{4}x$ (người).

Số học trò học đăm chiêu là: $\frac{1}{7}x$ (người).

Theo đề bài ta có: $x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{7}x+3$

Giải phương trình trên như sau:

$x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+\frac{1}{7}x+3$

$x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x-\frac{1}{7}x=3$

$x\cdot \left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)=3$

$x\cdot \frac{3}{28}=3$

x . 3 = 3 . 28

3x = 84

x = 28 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nhà toán học Pythagore có 28 học trò.

I. Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

Hoạt động 1 trang 45 Toán 8 Tập 2: Trong bài toán cổ trên, gọi x là số học trò của nhà toán học Pythagore (x là số nguyên dương). Viết biểu thức biểu thị theo biến x:

a) Số học trò học Toán;

b) Số học trò học Nhạc;

c) Số học trò đăm chiêu.

Lời giải:

a) Số học trò học Toán là: $\frac{1}{2}x.$

b) Số học trò học Nhạc là: $\frac{1}{4}x.$

c) Số học trò đăm chiêu là: $\frac{1}{7}x.$

Luyện tập 1 trang 45 Toán 8 Tập 2: Bạn An dành mỗi ngày x phút để chạy bộ. Viết biểu thị theo biến x:

a) Quãng đường (đơn vị: m) bạn An chạy được trong x phút, nếu bạn An chạy với tốc độ 150m/phút;

b) Tốc độ của bạn An (đơn vị: m/phút), nếu trong x phút bạn An chạy được quãng đường là 1800m.

Lời giải:

a) Quãng đường bạn An đã chạy trong x phút là: s = v.t = 150x (m).

Vậy biểu thức biểu thị quãng đường bạn An đã chạy trong x phút là 150x (m).

b) Tốc độ của bạn An nếu chạy được quãng đường 1800m trong x phút là:

$v=\frac{s}{t}=\frac{1800}{x}$ (m/phút).

Vậy biểu thức biểu thị tốc độ của bạn An nếu chạy được quãng đường 1800m trong x phút là $\frac{1800}{x}$ (m/phút).

II. Một số ví dụ về ứng dụng phương trình bậc nhất một ẩn

Giải Toán 8 trang 46 Tập 2

Hoạt động 2 trang 46 Toán 8 Tập 2: Hãy giải bài toán cổ trong phần mở đầu.

Lời giải:

Gọi số học trò của nhà toán học Pythagore là x (x ∈ ℕ^*).

Khi đó, số học trò học Toán là $\frac{x}{2};$ số học trò học Nhạc là $\frac{x}{4};$ số học trò đăm chiêu là $\frac{x}{7}.$

Theo giả thiết, ta có phương trình: $\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{7}+3=x.$

Giải phương trình trên như sau:

$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{7}+3=x$

$\frac{25x+84}{28}=x$

25x + 84 = 28x

84 = 28x – 25x

84 = 3x

x = 28 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số học trò của nhà toán học Pythagore là 28.

Giải Toán 8 trang 47 Tập 2

Luyện tập 2 trang 47 Toán 8 Tập 2: Hiện nay ông hơn cháu 56 tuổi. Cách đây 5 năm, tuổi của ông gấp tám lần tuổi của cháu. Hỏi cháu hiện nay bao nhiêu tuổi?

Lời giải:

Gọi tuổi của cháu hiện nay là x (tuổi), điều kiện x ∈ ℕ*.

Tuổi của ông hiện nay là: x + 56 (tuổi).

Cách đây 5 năm, tuổi của cháu là: x ‒ 5 (tuổi).

Cách đây 5 năm, tuổi của ông là: x + 56 ‒ 5 = x + 51 (tuổi).

Theo giả thiết, ta có phương trình: x + 51 = 8(x ‒ 5).

Giải phương trình:

x + 51 = 8(x ‒ 5)

x + 51 = 8x ‒ 40

x ‒ 8x = ‒ 40 ‒ 51

‒7x = ‒91

x = 13 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy cháu hiện nay 13 tuổi.

Giải Toán 8 trang 49 Tập 2

Luyện tập 3 trang 49 Toán 8 Tập 2: Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 cái áo. Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ đã may được mỗi ngày 40 cái nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày và còn may thêm được 20 cái áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.

Lời giải:

Gọi số áo tổ đó phải may theo kế hoạch là a (cái áo) (a ∈ℕ^*)

Số áo tổ đó đã may trong thực tế là a + 20 (cái áo).

Thời gian tổ đó may theo kế hoạch là $\frac{a}{30}$ (ngày).

Thời gian tổ đó may trong thực tế là $\frac{a+20}{40}$ (ngày).

Theo giả thiết, ta có phương trình$\frac{a}{30}=\frac{a+20}{40}+3$

Giải phương trình:

$\frac{a}{30}=\frac{a+20}{40}+3$

$\frac{4a}{120}=\frac{3\left(a+20\right)}{120}+\frac{3\cdot 120}{120}$

4a = 3a + 60 + 360

4a ‒ 3a = 60 + 360

a = 420 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số áo tổ đó phải may theo kế hoạch là 420 cái áo.

Bài tập

Bài 1 trang 49 Toán 8 Tập 2: Một cuộc thi có 20 câu hỏi với quy định cho điểm như sau: Với mỗi câu hỏi, nếu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm, trả lời sai thì bị trừ 1 điểm, không trả lời thì không được điểm. Bạn Minh được 70 điểm trong cuộc thi đó. Hỏi bạn Minh đã trả lời đúng được bao nhiêu câu? Biết rằng bạn Minh đã trả lời tất cả các câu trong cuộc thi.

Lời giải:

Vì bạn Minh đã trả lời tất cả các câu trong cuộc thi nên bạn Minh chỉ có thể trả lời đúng hoặc sai.

Gọi số câu bạn Minh trả lời đúng là x(0<x<20, x ∈ ℕ^*)(câu).

Khi đó, số câu bạn Minh trả lời sai là 20−x (câu).

Số điểm nhận được cho câu trả lời đúng là 5x (điểm).

Số điểm nhận được cho câu trả lời sai là ‒1.(20 ‒ x) = ‒20 + x (điểm).

Số điểm bạn Minh đạt được là: 5x−20+ x (điểm).

Vì bạn Minh được 70 điểm trong cuộc thi nên ta có phương trình: 5x−20+ x = 70.

Giải phương trình:

5x−20+ x = 70

6x = 70 + 20

6x = 90

x = 15 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy bạn Minh đã trả lời đúng được 15 câu.

Bài 2 trang 49 Toán 8 Tập 2: Giá niêm yết của một máy lọc nước và một nồi cơm điện có tổng là 6,5 triệu đồng. Bác Bình mua hàng vào đúng dịp tri ân khách hàng nên so với giá niêm yết máy lọc nước được giảm giá 15% và nồi cơm điện được giảm giá 10%. Do đó, tổng số tiền bác phải trả là 5,65 triệu đồng. Tính giá tiền niêm yết của mỗi sản phẩm đã nêu.

Lời giải:

Gọi giá niêm yết của máy lọc nước là x (triệu đồng).

Giá niêm yết của nồi cơm điện là 6,5−x (triệu đồng).

Giá sau khi giảm của máy lọc nước là (100%−15%).x=85%x = 0,85x (triệu đồng).

Giá sau khi giảm của nồi cơm điện là:

(100%−10%).(6,5−x)=90%.(6,5 – x) = 0,9.(6,5−x)(triệu đồng).

Theo giả thiết, ta có phương trình: 0,85x + 0,9.(6,5 − x) = 5,65.

Giải phương trình:

0,85x+0,9.(6,5−x)=5,65

0,85x + 5,85 ‒ 0,9x = 5,65

0,85x ‒ 0,9x = 5,65 ‒ 5,85

‒0,05x = ‒0,2

x = ‒0,2 : (‒0,05)

x = 4 (thỏa mãn điều kiện) .

Vậy giá niêm yết của máy lọc nước là 4 triệu đồng và giá niêm yết của nồi cơm điện là 6,5 ‒ 4 = 2,5 triệu đồng.

Bài 3 trang 49 Toán 8 Tập 2: Bác An đã gửi một lượng tiền tiết kiệm kì hạn 1 năm ở một ngân hàng với lãi suất 5,6%/năm (cứ sau kì hạn 1 năm, tiền lãi của kì hạn đó lại được cộng vào tiền vốn). Sau khi gửi 2 năm, bác An có được số tiền cả gốc và lãi là 111 513 600 đồng. Hỏi ban đầu bác An đã gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu đồng? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong 2 năm đó.

Lời giải:

Gọi số tiền ban đầu bác An gửi vào ngân hàng là: x (đồng) (x > 0).

Số tiền sau một năm gửi ngân hàng là:

x.(1 + 5,6%) = x.(1 + 0,056)=1,056x (đồng).

Số tiền sau hai năm gửi ngân hàng là:

1,056x(1 + 5,6%) = 1,056x.(1 + 0,056) = 1,056x.1,056 = 1,115136x (đồng).

Theo giả thiết, ta có phương trình: 1,115136x=111 513 600

Giải phương trình:

1,115136x=111 513 600

x = 111 513 600 : 1,115136

x =100 000 000(thỏa mãn điều kiện).

Vậy ban đầu bác An đã gửi vào ngân hàng số tiền là 100 000 000đồng.

Bài 4 trang 49 Toán 8 Tập 2: Một xe ô tô tải đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu với tốc độ trung bình là 42 km/h. Sau đó 45 phút, trên cùng tuyến đường, một xe taxi cũng xuất phát đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu với tốc độ trung bình là 60 km/h và đến Cần Thơ cùng lúc với xe ô tô tải. Tính quãng đường mà xe ô tô tải đã đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu.

Lời giải:

Gọi quãng đường mà xe ô tô tải đã đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu là x (km), x > 0.

Thời gian xe ô tô tải đi hết quãng đường là $\frac{x}{42}$ (giờ).

Thời gian xe taxi đi hết quãng đường là $\frac{x}{60}$ (giờ).

Vì xe ô tô tải đi trước xe taxi 45 phút = $\frac{3}{4}$ giờ nên ta có phương trình:$\frac{x}{42}-\frac{x}{60}=\frac{3}{4}.$

Giải phương trình:

$\frac{x}{42}-\frac{x}{60}=\frac{3}{4}$

$\frac{10x}{420}-\frac{7x}{420}=\frac{3\cdot 105}{420}$

10x ‒ 7x = 315

3x = 315

x = 315 : 3

x = 105 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy quãng đường xe ô tô tải đã đi từ Cần Thơ đến Bạc Liêu là 105 km.

Bài 5 trang 49 Toán 8 Tập 2: Câu ca dao “Lúa chiêm lấp ló đầu bờ – Hễ nghe tiếng sấm phất cờ mà lên” về mặt khoa học được giải thích như sau: Khi trời mưa kèm theo sấm sét, nitric acid sẽ được sinh ra và hoà tan trong nước mưa, có tác dụng làm tăng cường dinh dưỡng nitrogen cho đất trồng, giúp cây lúa phát triển tươi tốt. Phân tử của nitric acid đó có một nguyên tử H, một nguyên tử N và x nguyên tử O. Xác định công thức phân tử của nitric acid đó. Biết khối lượng phân tử của nó là 63 amu và khối lượng của mỗi nguyên tử H, N, O lần lượt là 1 amu, 14 amu, 16 amu.

Lời giải:

Số nguyên tử O trong phân tử nitric acid là x (nguyên tử), điều kiện x∈ℕ^*.

Khối lượng của x nguyên tử O là 16x (amu).

Khối lượng của một nguyên tử H là 1.1=1(amu).

Khối lượng của một nguyên tử N là 14.1=14(amu).

Theo giả thiết, ta có phương trình: 16x+1+14=63.

Giải phương trình:

16x+1+14=63

16x = 63 ‒ 1 ‒14

16x = 48

x = 48 : 16

x = 3 (thỏa mãn điều kiện).

Do đó phân tử của nitric acid đó có một nguyên tử H, một nguyên tử N và 3 nguyên tử O.

Vậy công thức phân tử của nitric acid đó là HNO₃.

Lý thuyết Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

1. Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một trong các đại lượng đó là x thì các đại lượng khác có thể biểu diễn dưới dạng một biểu thức của biến x.

2. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1. Lập phương trình:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Kết luận

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Sơ đồ tư duy Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Xác suất của biến cố ngẫu nhiên trong một số trò chơi đơn giản

Bài 5: Xác suất thực nghiệm của một biến cố trong một số trò chơi đơn giản

Bài tập cuối chương 6 trang 37

Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 7 trang 50