Giải Toán 8 trang 82 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 8 trang 82 Tập 2

Bài 2 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 75, chứng minh:

a) ∆IAB ᔕ ∆IDC;

b) ∆IAD ᔕ ∆IBC.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{ID}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IC}}=\frac{3,5}{7}=\frac{1}{2}.$ Suy ra $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{ID}}=\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IC}}=\frac{1}{2}.$

Xét ∆IAB và ∆IDC có:

$\widehat{\mathrm{AIB}}=\widehat{\mathrm{DIC}}$ (đối đỉnh) và $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{ID}}=\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IC}}$

Vậy ∆IAB ᔕ ∆IDC (c.g.c).

b) Ta có $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IB}}=\frac{2}{3,5}=\frac{4}{7};\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IC}}=\frac{4}{7}.$ Suy ra $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IB}}=\frac{\mathrm{ID}}{\mathrm{IC}}=\frac{4}{7}.$

Xét ∆IAD và ∆IBC có:

$\widehat{\mathrm{AID}}=\widehat{\mathrm{BIC}}$ (đối đỉnh) và$\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IB}}=\frac{\mathrm{ID}}{\mathrm{IC}}$

Vậy ∆IAD ᔕ ∆IBC (c.g.c).

Bài 3 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 76, biết AB = 4, BC = 3, BE = 2, BD = 6. Chứng minh:

a) ∆ABD ᔕ ∆EBC;

b) $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{DEG}};$

c) Tam giác DGE vuông.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{EB}}=\frac{4}{2}=2;\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\frac{6}{3}=2.$ Suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{EB}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=2.$

Xét∆ABD và ∆EBCcó:

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{EBC}}=90°$ và $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{EB}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$

Vậy ∆ABD ᔕ ∆EBC (c.g.c).

b) Do ∆ABD ᔕ ∆EBC (câu a), suy ra $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{CEB}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{CEB}}=\widehat{\mathrm{DEG}}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{DEG}}$

c) Ta có $\widehat{\mathrm{DAB}}+\widehat{\mathrm{ADB}}=90°$ (tổng hai góc nhọn của ∆ABD vuông tại B bằng 90°)

Mà $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{DEG}}$ (câu b)

Suy ra $\widehat{\mathrm{DEG}}+\widehat{\mathrm{ADB}}=90°$ hay $\widehat{\mathrm{DEG}}+\widehat{\mathrm{GDE}}=90°$

Xét ∆GDE có $\widehat{\mathrm{DEG}}+\widehat{\mathrm{GDE}}+\widehat{\mathrm{DGE}}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{DGE}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{DEG}}+\widehat{\mathrm{GDE}}\right)=180°-90°=90°.$

Vậy tam giác DGE vuông tại G.

Bài 4 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 77, chứng minh:

a) $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{BED}};$

b) BC ⊥ BE.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}.$ Suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{2}.$

Xét ∆ABC và ∆DEB có:

$\hat{A}=\hat{D}\left(=90°\right);$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}}$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆DEB (c.g.c).

Do đó $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{DEB}}$ (hai góc tương ứng).

b) Ta có $\widehat{\mathrm{DEB}}+\widehat{\mathrm{DBE}}=90°$ (tổng hai góc nhọn của ∆BDE vuông tại D bằng 90°)

Mà $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{DEB}}$ (câu a)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{DBE}}=90°$

Lại có $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{CBE}}+\widehat{\mathrm{DBE}}=180°$

Nên $\widehat{\mathrm{CBE}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{DBE}}\right)=180°-90°=90°.$

Do đó BC ⊥ BE.

Bài 5 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP.

a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆MNQ.

b) Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP. Chứng minh ∆ABG ᔕ ∆MNK.

Lời giải:

a) Vì ∆ABC ᔕ ∆MNP (giả thiết) nên $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{MNP}}$ và $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}$

Vì D, Q lần lượt là trung điểm của BC và NP nên $\mathrm{BD}=\frac{1}{2}\mathrm{BC},\mathrm{NQ}=\frac{1}{2}\mathrm{NP}$

Do đó $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{NQ}}=\frac{\frac{1}{2}\mathrm{BC}}{\frac{1}{2}\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NQ}},$ suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{NQ}}\left(=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}\right)$

Xét ∆ABDvà ∆MNQ có:

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{MNQ}}$ (do $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{MNP}});$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{NQ}}$

Suy ra ∆ABD ᔕ ∆MNQ (c.g.c).

b) Vì ∆ABD ᔕ ∆MNQ (câu a) $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{NMQ}}$ (hai góc tương ứng) và $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{MQ}}$ (tỉ số đồng dạng)

Mà G, K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP nên $\mathrm{AG}=\frac{2}{3}\mathrm{AD},\mathrm{MK}=\frac{2}{3}\mathrm{MQ}$

Do đó $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{MQ}}=\frac{\frac{2}{3}\mathrm{AD}}{\frac{2}{3}\mathrm{MQ}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{MK}}$

Xét ∆ABG và ∆MNK có:

$\widehat{\mathrm{BAG}}=\widehat{\mathrm{NMK}}$ (do $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{NMQ}});$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{MK}}$

Vậy ∆ABG ᔕ ∆MNK (c.g.c).

Bài 6 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho Hình 78, biết AH² = BH.CH. Chứng minh:

a) ∆HAB ᔕ ∆HCA;

b) Tam giác ∆ABC vuông tại A.

Lời giải:

a) Từ AH² = BH.CH ta có $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BH}}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}.$

Xét ∆HAB và ∆HCA có:

$\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AHC}}\left(=90°\right);$

$\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BH}}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$

Suy ra ∆HAB ᔕ ∆HCA (c.g.c).

b) Vì ∆HAB ᔕ ∆HCA (câu a) nên $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{CAH}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{HAB}}=90°$ (tổng hai góc nhọn của ∆ABH vuông tại H bằng 90°)

Suy ra $\widehat{\mathrm{CAH}}+\widehat{\mathrm{HAB}}=90°$ hay $\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$

Vậy ∆ABC vuông tại A.

Bài 7 trang 82 Toán 8 Tập 2: Đố. Chỉ sử dụng thước thẳng có chia đơn vị đến milimét và thước đo góc, làm thế nào đo được khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế, biết rằng có vị trí A thoả mãn AB = 20 m, AC = 50 m, $\widehat{\mathrm{BAC}}=135°.$

Bạn Vy làm như sau: Vẽ tam giác A’B’C’ có A’B’ = 2 cm, A’C’ = 5 cm, Bạn Vy lấy thước đo khoảng cách giữa hai điểm B’, C’ và nhận được kết quả B’C’ ≈ 6,6 cm. Từ đó, bạn Vy kết luận khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế khoảng 66 m. Em hãy giải thích tại sao bạn Vy có thể kết luận như vậy.

Lời giải:

Đổi A’B’ = 2 cm = 0,02 m;

A’C’ = 5 cm = 0,05 m;

B’C’ = 6,6 cm = 0,066 m.

Ta có $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{20}{0,02}=1000,$$\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{50}{0,05}=1000.$

Do đó $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=1000$

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có:

$\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=135°\right);$

$\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (c.g.c)

Do đó $\frac{\mathrm{BC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=1000$

Nên BC = 1 000 . B’C’ = 1 000 . 0,066 = 66 (m).

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế khoảng 66m.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải Toán 8 trang 79 Tập 2

Giải Toán 8 trang 80 Tập 2

Giải Toán 8 trang 81 Tập 2

Giải Toán 8 trang 82 Tập 2