Bài 9.33 trang 109 Toán 8 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Luyện tập chung (trang 108)

Bài 9.33 trang 109 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4 cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB tại P.

a) Chứng minh rằng ΔBMP ∽ ΔMCN.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Lời giải:

a) Vì BM = 4 cm; BC = 10 cm nên MC = 6 cm.

Ta thấy 6² + 8² = 10² = 100 hay AB² + AC² = BC² nên tam giác ABC vuông tại A.

Lại có MN // AB (cùng vuông góc với AC) và MP // AC (cùng vuông góc với AB).

Tam giác BMP vuông tại P và tam giác MCN vuông tại N có $\widehat{BMP}=\widehat{MCN}$ (MP // AC và hai góc ở vị trí đồng vị) nên ∆BMP ∽ ∆MCN.

b) Tam giác BMP vuông tại P và tam giác BCA vuông tại A có góc B chung nên

∆BMP ∽ ∆BCA.

Suy ra$\frac{BP}{AB}=\frac{MP}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Do đó, $BP=\frac{2AB}{5}=\frac{2\cdot 6}{5}=\frac{12}{5}$ cm; $MP=\frac{2CA}{5}=\frac{2\cdot 8}{5}=\frac{16}{5}$cm.

Suy ra AP = AB – BP = 6 – $\frac{12}{5}=\frac{18}{5}$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông APM:

AM² = AP² + MP² = $\frac{580}{25}\Rightarrow AM=2\sqrt{\frac{29}{5}}$ cm.