Giải Toán 7 trang 63 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 trang 63 Tập 2

Bài 3 trang 63 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A}=56°$ (Hình 15).

 

a) Tính $\widehat{B},\widehat{C}$.

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng tam giác AMN cân.

c) Chứng minh rằng MN // BC.

Lời giải:

a) Theo đề bài: ∆ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$.

Xét ∆ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng số đo ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{B}+\widehat{C}=180°-\widehat{A}$.

Do đó $2\widehat{B}=180°-56°=124°$ (vì $\widehat{B}=\widehat{C}$) nên $\widehat{B}=\frac{124°}{2}=62°$

Vậy $\widehat{B}=\widehat{C}=62°$.

b) Vì M là trung điểm của AB nên:

AM = $\frac{1}{2}$AB hay AB = 2AM.

Vì N là trung điểm của AC nên:

AN = $\frac{1}{2}$AC hay AC = 2AN.

Mà ∆ABC cân tại A nên AB = AC hay 2AM = 2AN.

Do đó AM = AN.

Tam giác AMN có AM = AN nên tam giác AMN cân tại A.

Vậy tam giác AMN cân tại A.

c) Vì ∆AMN cân tại A nên $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$.

Xét ∆AMN có $\widehat{A}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=180°$ (định lí tổng số đo ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=180°-\widehat{A}$.

Hay $2\widehat{AMN}=180°-56°=124°$.

Do đó $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=62°$.

Khi đó $\widehat{ABC}=\widehat{AMN}=62°$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Vậy MN // BC.

Bài 4 trang 63 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

 

a) Chứng minh rằng $\widehat{ABF}=\widehat{ACE}$.

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và tam giác IEF là những tam giác cân.

Lời giải:

a) Theo đề bài, tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Vì BF là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên: $\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ 

Vì CE là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên: $\widehat{AC\text{E}}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ 

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\widehat{AC\text{E}}=\widehat{ECB}$

Vậy $\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$.

b) Xét ∆ABF và ∆ACE có:

$\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$ (chứng minh câu a);

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{A}$ là góc chung.

Do đó ∆ABF = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AF = AE (hai cạnh tương ứng).

Tam giác AEF có AF = AE nên tam giác AEF cân tại A.

c) Ta có $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh câu a) nên $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$.

Tam giác IBC có $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ nên tam giác IBC cân tại I.

Do đó IB = IC.

Xét ∆EIB và ∆FIC có:

$\widehat{EIB}=\widehat{FIC}$ (hai góc đối đỉnh);

IB = IC (chứng minh trên);

$\widehat{EBI}=\widehat{FCI}$ (do $\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$).

Do đó ∆EIB = ∆FIC (g.c.g).

Suy ra IE = IF (hai cạnh tương ứng).

Tam giác IEF có IE = IF nên tam giác IEF cân tại I.

Bài 5 trang 63 Toán 7 Tập 2:

Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân (Hình 17a) được vẽ lại như Hình 17b. Cho biết AB = 20 cm; BC = 28 cm và $\widehat{B}=35°$. Tìm số đo các góc còn lại và chu vi của tam giác ABC.

 

Lời giải:

Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân nên:

Trong Hình 17b: tam giác ABC cân tại A.

Suy ra AB = AC và $\widehat{B}=\widehat{C}$.

Do đó AB = AC = 20 cm; $\widehat{B}=\widehat{C}=35°$.

Xét ∆ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng số đo ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}$

Do đó $\widehat{A}=180°-35°-35°=110°$.

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + AC = 20 + 28 + 20 = 68 (cm).

Vậy số đo các góc còn lại là: $\widehat{A}=110°$, $\widehat{C}=35°$ và chu vi tam giác ABC là 68 cm.

Bài 6 trang 63 Toán 7 Tập 2:

Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình 18a được vẽ lại như Hình 18b.

 

a) Cho biết ${\widehat{A}}_1=42°$. Tính số đo của ${\widehat{M}}_1,{\widehat{B}}_1,{\widehat{M}}_2$.

b) Chứng minh MN // BC, MP // AC.

c) Chứng minh bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Lời giải:

a) ∆AMN có AM = AN nên ∆AMN cân tại A.

Suy ra ${\widehat{M}}_1=\widehat{ANM}$.

Xét ∆AMN có: ${\widehat{A}}_1+{\widehat{M}}_1+\widehat{ANM}=180°$ (định lí tổng số đo ba góc của một tam giác)

Suy ra ${\widehat{M}}_1+\widehat{ANM}=180°-{\widehat{A}}_1$.

Hay $2{\widehat{M}}_1=180°-{\widehat{A}}_1=180°-42°=138°$.

Do đó ${\widehat{M}}_1=69°$.

Ta có: AB = AM + MB; AC = AN + NC.

Mà AM = AN, MB = NC nên AB = AC.

Do đó ∆ABC cân tại A.

Suy ra ${\widehat{B}}_1=\widehat{C}$.

Xét ∆ABC có: ${\widehat{A}}_1+{\widehat{B}}_1+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng số đo ba góc của một tam giác)

Suy ra ${\widehat{B}}_1+\widehat{C}=180°-{\widehat{A}}_1$.

Hay $2{\widehat{B}}_1=180°-{\widehat{A}}_1=180°-42°=138°$.

Do đó ${\widehat{B}}_1=69°$.

∆MBP có MB = MP nên ∆MBP cân tại M.

Suy ra $\widehat{MBP}=\widehat{MPB}$.

Xét ∆MBP có: ${\widehat{M}}_2+{\widehat{B}}_1+\widehat{MPB}=180°$ (định lí tổng số đo ba góc của một tam giác)

Suy ra ${\widehat{M}}_2=180°-{\widehat{B}}_1-\widehat{MPB}$.

Hay ${\widehat{M}}_2=180°-2{\widehat{B}}_1=180°-2.69°=42°$.

Vậy ${\widehat{M}}_1=69°$; ${\widehat{B}}_1=69°$; ${\widehat{M}}_2=42°$.

b) Ta có: ${\widehat{M}}_1={\widehat{B}}_1=69°$.

Mà ${\widehat{M}}_1$ và ${\widehat{B}}_1$ ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Lại có: ${\widehat{M}}_2={\widehat{A}}_1=42°$.

Mà ${\widehat{M}}_2$ và ${\widehat{A}}_1$ ở vị trí đồng vị nên MP // AC.

c) • Xét ∆AMN và ∆MBP có:

AM = MB (giả thiết).

${\widehat{A}}_1={\widehat{M}}_2$ (chứng minh trên).

AN = MP (giả thiết).

Do đó ∆AMN = ∆MBP (c.g.c).

Suy ra MN = BP (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆MBP và ∆PMN có:

MP = PN (giả thiết).

MB = PM (giả thiết).

BP = MN (chứng minh trên).

Do đó ∆MBP = ∆PMN (c.c.c).

• Do MP // AC nên $\widehat{MPN}=\widehat{PNC}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆PMN và ∆NPC có:

PM = NP (giả thiết).

$\widehat{MPN}=\widehat{PNC}$ (chứng minh trên).

PN = NC (giả thiết).

Do đó ∆PMN = ∆NPC (c.g.c).

Vậy bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 7 trang 59 Tập 2

Giải Toán 7 trang 60 Tập 2

Giải Toán 7 trang 61 Tập 2

Giải Toán 7 trang 62 Tập 2

Giải Toán 7 trang 63 Tập 2