Giải Toán 7 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Giải bài tập Toán 7 Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 33 Tập 2

Khởi động trang 33 Toán 7 Tập 2:

Có thể cộng và trừ hai đa thức một biến như cộng và trừ hai số thực không?

Lời giải:

Cộng và trừ hai đa thức một biến ta có thể làm tương tự như cộng và trừ hai số thực.

Khám phá 1 trang 33 Toán 7 Tập 2:

Hãy lập biểu thức biểu thị tổng chu vi của hình vuông (Hình 1a) và hình chữ nhật (Hình 1b).

Lời giải:

- Hình 1a): Hình vuông có độ dài một cạnh là x.

Khi đó, biểu thức biểu thị chu vi của hình vuông là: 4x.

- Hình 1b): Hình chữ nhật có chiều dài là x + 1 và chiều rộng là x.

Khi đó, biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật là:

2 . [x + (x + 1)] = 2 . (2x + 1) = 4x + 2.

Do đó, biểu thức biểu thị tổng chu vi của hình vuông và hình chữ nhật là:

4x + 4x + 2 = 8x + 2.

Giải Toán 7 trang 34 Tập 2

Thực hành 1 trang 34 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P(x) = 7x³ - 8x + 12 và Q(x) = 6x² - 2x³ + 3x - 5.

Hãy tính P(x) + Q(x) bằng hai cách.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có: P(x) + Q(x) = (7x³ - 8x + 12) + (6x² - 2x³ + 3x - 5)

= 7x³ - 8x + 12 + 6x² - 2x³ + 3x - 5

= (7x³ - 2x³) + 6x² + (-8x + 3x) + (12 - 5)

= 5x³ + 6x² - 5x + 7.

Vậy P(x) + Q(x) = 5x³ + 6x² - 5x + 7.

Cách 2:

Ta có: P(x) = 7x³ - 8x + 12;

Q(x) = 6x² - 2x³ + 3x - 5 = -2x³ + 6x² + 3x - 5.

Khi đó thực hiện đặt phép tính ta được:

Vậy P(x) + Q(x) = 5x³ + 6x² - 5x + 7.

Khám phá 2 trang 34 Toán 7 Tập 2:

Hình 2 gồm một hình chữ nhật có chiều dài 4x cm, chiều rộng 2x cm và hình vuông nhỏ bên trong có cạnh x cm.

Hãy lập biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu vàng trong Hình 2.

Lời giải:

Hình chữ nhật có chiều dài 4x cm và chiều rộng 2x cm.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật là:

4x . 2x = 8x².

Hình vuông có độ dài một cạnh x cm.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích của hình vuông là: x².

Biểu thức biểu thị diện tích phần được tô vàng trong Hình 2 là:

8x² - x² = 7x².

Vậy biểu thức biểu thị diện tích phần được tô vàng trong Hình 2 là 7x².

Giải Toán 7 trang 35 Tập 2

Thực hành 2 trang 35 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P(x) = 2x³ - 9x² + 5 và Q(x) = -2x² - 4x³ + 7x.

Hãy tính P(x) - Q(x) bằng hai cách.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có P(x) - Q(x) = (2x³ - 9x² + 5) - (-2x² - 4x³ + 7x)

= 2x³ - 9x² + 5 + 2x² + 4x³ - 7x

= (2x³ + 4x³) + (-9x² + 2x²) - 7x + 5

= 6x³ - 7x² - 7x + 5.

Vậy P(x) - Q(x) = 6x³ - 7x² - 7x + 5.

Cách 2:

Ta có: P(x) = 2x³ - 9x² + 5;

Q(x) = -2x² - 4x³ + 7x = - 4x³ - 2x² + 7x.

Khi đó thực hiện đặt phép tính ta được:

Vậy P(x) - Q(x) = 6x³ - 7x² - 7x + 5.

Thực hành 3 trang 35 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép tính: (x - 4) + [(x² + 2x) + (7 - x)].

Lời giải:

Ta có (x - 4) + [(x² + 2x) + (7 - x)]

= x - 4 + x² + 2x + 7 - x

= x² + (x + 2x - x) + (-4 + 7)

= x² + 2x + 3.

Vậy (x - 4) + [(x² + 2x) + (7 - x)] = x² + 2x + 3.

Bài 1 trang 35 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức P(x) = -3x⁴ - 8x² + 2x và Q(x) = 5x³ - 3x² + 4x - 6.

Hãy tính P(x) + Q(x) và P(x) - Q(x).

Lời giải:

Ta có:

∙ P(x) + Q(x) = (-3x⁴ - 8x² + 2x) + (5x³ - 3x² + 4x - 6)

= -3x⁴ - 8x² + 2x + 5x³ - 3x² + 4x - 6

= -3x⁴ + 5x³ + (-8x² - 3x²) + (2x + 4x) - 6

= -3x⁴ + 5x³ - 11x² + 6x - 6;

∙ P(x) - Q(x) = (-3x⁴ - 8x² + 2x) - (5x³ - 3x² + 4x - 6)

= -3x⁴ - 8x² + 2x - 5x³ + 3x² - 4x + 6

= -3x⁴ - 5x³ + (-8x² + 3x²) + (2x - 4x) + 6

= -3x⁴ - 5x³ - 5x² - 2x + 6.

Vậy P(x) + Q(x) = -3x⁴ + 5x³ - 11x² + 6x - 6;

P(x) - Q(x) = -3x⁴ - 5x³ - 5x² - 2x + 6.

Bài 2 trang 35 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức M(x) = 7x³ - 2x² + 8x + 4.

Tìm đa thức N(x) sao cho M(x) + N(x) = 3x² - 2x.

Lời giải:

Vì M(x) + N(x) = 3x² - 2x nên N(x) = 3x² - 2x - M(x)

Khi đó N(x) = 3x² - 2x - (7x³ - 2x² + 8x + 4)

= 3x² - 2x - 7x³ + 2x² - 8x - 4

= -7x³ + (3x² + 2x²) + (-2x - 8x) - 4

= -7x³ + 5x² - 10x - 4.

Vậy N(x) = -7x³ + 5x² - 10x - 4.

Giải Toán 7 trang 36 Tập 2

Bài 3 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức A(y) = -5y⁴ - 4y² + 2y + 7.

Tìm đa thức B(y) sao cho B(y) - A(y) = 2y³ - 9y² + 4y.

Lời giải:

Ta có B(y) - A(y) = 2y³ - 9y² + 4y nên:

B(y) = A(y) + 2y³ - 9y² + 4y

= (-5y⁴ - 4y² + 2y + 7) + 2y³ - 9y² + 4y

= -5y⁴ - 4y² + 2y + 7 + 2y³ - 9y² + 4y

= -5y⁴ + 2y³ + (-4y² - 9y²) + (2y + 4y) + 7

= -5y⁴ + 2y³ -13y² + 6y + 7.

Vậy B(y) = -5y⁴ + 2y³ -13y² + 6y + 7.

Bài 4 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Viết biểu thức biểu thị chu vi của hình thang cân trong Hình 3:

Lời giải:

Hình thang cân trong Hình 3 có đáy bé 8x, đáy lớn 15x – 6, độ dài mỗi cạnh bên 4x + 1.

Khi đó, biểu thức biểu thị chu vi của hình thang cân là:

8x + 4x + 1 + 15x - 6 + 4x + 1

= (8x + 4x + 15x + 4x) + (1 - 6 + 1) = 31x - 4.

Vậy biểu thức biểu thị chu vi của hình thang cân trong Hình 3 là 31x - 4.

Bài 5 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác (Hình 4) có chu vi bằng 12t - 3. Tìm cạnh chưa biết của tam giác đó.

Lời giải:

Chu vi hình tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh.

Khi đó, độ dài cạnh còn lại của tam giác bằng:

12t - 3 - (3t + 8) - (4t - 7)

= 12t - 3 - 3t - 8 - 4t + 7

= (12t - 3t - 4t) + (-3 - 8 + 7)

= 5t - 4.

Vậy độ dài cạnh còn lại của tam giác trong Hình 4 bằng 5t - 4.

Bài 6 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho ba đa thức P(x) = 9x⁴ - 3x³ + 5x - 1; Q(x) = -2x³ - 5x² + 3x - 8;

R(x) = -2x⁴ + 4x² + 2x - 10.

Tính P(x) + Q(x) + R(x) và P(x) - Q(x) - R(x).

Lời giải:

Ta có: P(x) + Q(x) + R(x)

= (9x⁴ - 3x³ + 5x - 1) + (-2x³ - 5x² + 3x - 8) + (-2x⁴ + 4x² + 2x - 10)

= 9x⁴ - 3x³ + 5x - 1 - 2x³ - 5x² + 3x - 8 - 2x⁴ + 4x² + 2x - 10

= (9x⁴ - 2x⁴) + (-3x³ - 2x³) + (-5x² + 4x²) + (5x + 3x + 2x) + (-1 - 8 - 10)

= 7x⁴ - 5x³ - x² + 10x - 19.

P(x) - Q(x) - R(x)

= (9x⁴ - 3x³ + 5x - 1) - (-2x³ - 5x² + 3x - 8) - (-2x⁴ + 4x² + 2x - 10)

= 9x⁴ - 3x³ + 5x - 1 + 2x³ + 5x² - 3x + 8 + 2x⁴ - 4x² - 2x + 10

= (9x⁴ + 2x⁴) + (-3x³ + 2x³) + (5x² - 4x²) + (5x - 3x - 2x) + (-1 + 8 + 10)

= 11x⁴ - x³ + x² + 17.

Bài 7 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức P(x) = x³ - 4x² + 8x - 2. Hãy viết P(x) thành tổng của hai đa thức bậc bốn.

Lời giải:

Đặt A(x) = x⁴ + 2x³ - 3x².

Giả sử B(x) = P(x) – A(x)

= (x³ - 4x² + 8x - 2) - (x⁴ + 2x³ - 3x²)

= x³ - 4x² + 8x - 2 - x⁴ - 2x³ + 3x²

= - x⁴ - x³ - x² + 8x - 2.

Vậy P(x) thành tổng của hai đa thức bậc bốn x⁴ + 2x³ - 3x² và - x⁴ - x³ - x² + 8x - 2.

Bài 8 trang 36 Toán 7 Tập 2:

Cho hình vuông cạnh 2x và bên trong là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và 3 (Hình 5). Tìm đa thức theo biến x biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh.

Lời giải:

∙ Hình vuông có độ dài một cạnh là 2x.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích hình vuông là: 2x . 2x = 4x².

∙ Hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là 3.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật là: 3x.

Do đó, biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là: 4x² - 3x.

Bài 9 trang 36 Toán 7 Tập 2:

a) Thực hiện phép tính: (3x - 1) + [(2x² + 5x) + (4 - 3x)].

b) Cho A = 4x + 2, C = 5 - 3x². Tìm đa thức B sao cho A + B = C.

Lời giải:

a) (3x - 1) + [(2x² + 5x) + (4 - 3x)]

= 3x - 1 + 2x² + 5x + 4 - 3x

= 2x² + (3x + 5x - 3x) + (-1 + 4)

= 2x² + 5x + 3.

b) Ta có A + B = C suy ra B = C - A.

Với A = 4x + 2, C = 5 - 3x², ta có:

B = (5 - 3x²) - (4x + 2)

= 5 - 3x² - 4x - 2

= -3x² - 4x + (5 - 2)

= -3x² - 4x + 3.

Vậy B = -3x² - 4x + 3.

Lý thuyết Toán 7 Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến - Chân trời sáng tạo

1. Phép cộng hai đa thức một biến

Để cộng hai đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:

- Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép cộng.

- Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng sao cho lũy thừa giống nhau ở hai đa thức thẳng cột với nhau rồi thực hiện cộng theo cột.

Ví dụ: Cho M(x) = 6x² – 5x + 1 và N(x) = –3x² – 2x – 7. Hãy tính tổng của M(x) và N(x) bằng hai cách.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: M(x) + N(x) = 6x² – 5x + 1 + (–3x² – 2x – 7)

= 6x² – 5x + 1 – 3x² – 2x – 7

= (6x² –3x²) + (– 5x – 2x) + (1 – 7)

= 3x² – 7x – 6

Cách 2: Cộng theo cột dọc

$\frac{\begin{array}{c}{+}^{}M\left(x\right)=6x^2–5x+1\\ N\left(x\right)=–3x^2–2x–7\end{array}}{M\left(x\right)+N\left(x\right){=}^{}3x^2-7x-6}$

2. Phép trừ hai đa thức một biến

Để trừ hai đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:

- Cách 1:Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép trừ.

- Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng sao cho lũy thừa giống nhau ở hai đa thức thẳng cột với nhau rồi thực hiện trừ theo cột.

Ví dụ: Cho P(x) = 9x² – 2x + 4 và Q(x) = –x² + 3x – 7. Hãy tính hiệu của P(x) và Q(x) bằng hai cách.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép tính.

P(x) + Q(x) = 9x² – 2x + 4 – (–x² + 3x – 7)

= 9x² – 2x + 4 + x² – 3x + 7

= (9x² + x²) + (– 2x – 3x) + (4 + 7)

= 10x² – 5x + 11

Cách 2: Đặt phép tính theo cột dọc.

$\frac{\begin{array}{c}\_P\left(x\right)=9x^2–2x+4\\ Q\left(x\right)=–x^2+3x-7\end{array}}{P\left(x\right)-Q\left(x\right)=10x^2-5x+11}$

3. Tính chất của phép cộng đa thức một biến

Tính chất: Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số.

-Tính chất giao hoán: A + B = B + A;

-Tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C.

Ví dụ: Thực hiện phép tính (2x – 1) + [(x² + 3x) + (2 – 2x)].

Hướng dẫn giải:

(2x – 1) + [(x² + 3x) + (2 – 2x)] = (2x – 1) + [(2 – 2x) + (x² + 3x)]

= [(2x – 1) + (2 – 2x)] + (x² + 3x)

= (2x – 1 + 2 – 2x) + (x² + 3x)

= 1 + (x² + 3x)

= x² + 3x + 1.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đa thức một biến

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài 5: Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Cách tính điểm trung bình môn học kì

Bài tập cuối chương 7