Giải Toán 7 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Giải bài tập Toán 7 Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 37 Tập 2

Khởi động trang 37 Toán 7 Tập 2:

Có thể nhân, chia hai đa thức một biến được không?

Lời giải:

Ta có thể thực hiện nhân, chia hai đa thức một biến.

Khám phá 1 trang 37 Toán 7 Tập 2:

Hãy dùng tính chất phân phối để thực hiện phép nhân x . (2x + 3).

Lời giải:

Áp dụng tính chất phân phối, ta được:

x . (2x + 3) = x . 2x + x . 3 = 2x² + 3x.

Thực hành 1 trang 37 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép nhân (4x - 3)(2x² + 5x - 6).

Lời giải:

Ta có: (4x - 3)(2x² + 5x - 6)

= 4x . (2x² + 5x - 6) + (-3) . (2x² + 5x - 6)

= 4x . 2x² + 4x . 5x + 4x . (-6) + (-3) . 2x² + (-3) . 5x + (-3) . (-6)

= 8x³ + 20x² - 24x - 6x² - 15x + 18

= 8x³ + (20x² - 6x²) + (-24x - 15x) + 18

= 8x³ + 14x² - 39x + 18.

Vậy (4x - 3)(2x² + 5x - 6) = 8x³ + 14x² - 39x + 18.

Vận dụng 1 trang 37 Toán 7 Tập 2:

Tìm đa thức theo biến x biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật có kích thước như Hình 2.

Lời giải:

Biểu thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật trên là:

(x + 3)(x - 1)(x - 2)

= [x . x + 3 . x + x . (-1) + 3 . (-1)] . (x - 2)

= (x² + 3x - x - 3) . (x - 2)

= (x² + 2x - 3) . (x - 2)

= x² . x + x² . (-2) + 2x . x + 2x . (-2) + (-3) . x + (-3) . (-2)

= x³ - 2x² + 2x² - 4x - 3x + 6

= x³ + (-2x² + 2x²) + (-4x - 3x) + 6

= x³ - 7x + 6.

Vậy đa thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật trên là x³ - 7x + 6.

Giải Toán 7 trang 38 Tập 2

Khám phá 2 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép nhân (3x + 1)(x² - 2x + 1),

rồi đoán xem (3x³ - 5x² + x + 1) : (3x + 1) bằng đa thức nào.

Lời giải:

(3x + 1)(x² - 2x + 1) = 3x . (x² - 2x + 1) + 1 . (x² - 2x + 1)

= 3x . x² + 3x . (-2x) + 3x . 1 + x² - 2x + 1

= 3x³ - 6x² + 3x + x² - 2x + 1

= 3x³ + (-6x² + x²) + (3x - 2x) + 1

= 3x³ - 5x² + x + 1.

Khi đó (3x³ - 5x² + x + 1) : (3x + 1) = x² - 2x + 1.

Thực hành 2 trang 38 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép chia P(x) = 6x² + 4x cho Q(x) = 2x.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước như sau:

- Đặt phép chia

- Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức P(x) chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 6x² : 2x = 3x.

- Lấy P(x) trừ 3x . Q(x) ta được dư thứ nhất: 3x . 2x = 6x².

- Lấy đa thức bị chia trừ 6x², ta được:

Đa thức 4x là dư thứ nhất.

- Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 4x : 2x = 2.

- Lấy dư thứ nhất trừ đi 2 . Q(x) ta được dư thứ hai: 4x - 2 . 2x = 4x - 4x = 0.

Do dư bằng 0 nên dừng phép chia.

Vậy P(x) : Q(x) = 3x + 2.

Giải Toán 7 trang 39 Tập 2

Vận dụng 2 trang 39 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện các phép chia sau: $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$ và $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$.

Lời giải:

* Xét $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$:

Ta có 9x² + 5x + x = 9x² + 6x.

Thực hiện đặt phép chia, ta được:

Do đó $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$ = 3x + 2.

* Xét $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$:

Ta có 2 - x = -x + 2.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

Do đó $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$ = -2x - 1.

Vậy $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$ = 3x + 2 và $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$ = -2x - 1.

Thực hành 3 trang 39 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép chia (x² + 5x + 9) : (x + 2).

Lời giải:

Thực hiện đặt phép chia, ta được:

Vậy $\frac{x^2+5x+9}{x+2}=x+3+\frac{3}{x+2}$.

Vận dụng 3 trang 39 Toán 7 Tập 2:

Tính diện tích đáy của một hình hộp chữ nhật (Hình 3) có chiều cao bằng (x + 3) cm và có thể tích bằng (x³ + 8x² + 19x + 12) cm³.

Lời giải:

Ta có công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật là:

V = S . h (trong đó V, S và h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao hình hộp chữ nhật).

Khi đó, diện tích đáy hình hộp chữ nhật là:

S = V : h = (x³ + 8x² + 19x + 12) : (x + 3) = x² + 5x + 4 (cm²).

Vậy diện tích đáy của hình hộp chữ nhật bằng (x² + 5x + 4) cm².

Giải Toán 7 trang 40 Tập 2

Thực hành 4 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Thực hiện phép tính: $\frac{1}{5}$. (x² + 1) . 5.

Lời giải:

Cách 1: Thực hiện từ trái sang phải.

$\frac{1}{5}$. (x² + 1) . 5 = $\left(\frac{1}{5}{x}^2+\frac{1}{5}\right).5$

= $\frac{1}{5}{x}^2.5+\frac{1}{5}.5$ = x² + 1.

Cách 2: Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp để tính giá trị biểu thức.

$\frac{1}{5}$. (x² + 1) . 5 = $\frac{1}{5}$ . 5 . (x² + 1)

= $\left(\frac{1}{5}.5\right)$ . (x² + 1) = x² + 1.

Bài 1 trang 40 Toán 7 Tập 2: Thực hiện phép nhân.

a) (4x - 3)(x + 2);

b) (5x + 2)(-x² + 3x + 1);

c) (2x² - 7x + 4)(-3x² + 6x + 5).

Lời giải:

a) (4x - 3)(x + 2)

= 4x . x + 4x . 2 + (-3) . x + (-3) . 2

= 4x² + 8x - 3x - 6

= 4x² + (8x - 3x) - 6

= 4x² + 5x - 6.

b) (5x + 2)(-x² + 3x + 1)

= 5x . (-x²) + 5x . 3x + 5x . 1 + 2 . (-x²) + 2 . 3x + 2 . 1

= -5x³ + 15x² + 5x - 2x² + 6x + 2

= -5x³ + (15x² - 2x²) + (5x + 6x) + 2

= -5x³ + 13x² + 11x + 2.

c) (2x² - 7x + 4)(-3x² + 6x + 5)

= 2x² . (-3x²) + 2x² . 6x + 2x² . 5 + (-7x) . (-3x²) + (-7x) . 6x + (-7x) . 5 + 4 . (-3x²) + 4 . 6x + 4 . 5

= -6x⁴ + 12x³ + 10x² + 21x³ - 42x² - 35x - 12x² + 24x + 20

= -6x⁴ + (12x³ + 21x³) + (10x² - 42x² - 12x²) + (-35x + 24x) + 20

= -6x⁴ + 33x³ - 44x² - 11x + 20.

Bài 2 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Cho hai hình chữ nhật như Hình 4. Tìm đa thức theo biến x biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh.

Lời giải:

∙ Hình chữ nhật bên ngoài có chiều dài là 2x + 4 và chiều rộng là 3x + 2.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật bên ngoài là:

(2x + 4)(3x + 2) = 6x² + 4x + 12x + 8 = 6x² + 16x + 8.

∙ Hình chữ nhật bên trong có chiều dài là x + 1 và chiều rộng là x.

Khi đó, biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật bên trong là:

x . (x + 1) = x² + x.

Do đó biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là:

(6x² + 16x + 8) - (x² + x)

= 6x² + 16x + 8 - x² - x

= (6x² - x²) + (16x - x) + 8

= 5x² + 15x + 8.

Vậy biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là 5x² + 15x + 8.

Bài 3 trang 40 Toán 7 Tập 2: Thực hiện phép chia.

a) (8x⁶ - 4x⁵ + 12x⁴ - 20x³) : 4x³;

b) (2x² - 5x + 3) : (2x - 3).

Lời giải:

a) Ta có (8x⁶ - 4x⁵ + 12x⁴ - 20x³) : 4x³

= (8x⁶ : 4x³) + (-4x⁵ : 4x³) + (12x⁴ : 4x³) + (-20x³) : 4x³

= 2x³ - x² + 3x - 5

Vậy (8x⁶ - 4x⁵ + 12x⁴ - 20x³) : 4x³ = 2x³ - x² + 3x - 5.

b) Thực hiện đặt phép chia, ta được:

Vậy (2x² - 5x + 3) : (2x - 3) = x - 1.

Bài 4 trang 40 Toán 7 Tập 2: Thực hiện phép chia.

a) (4x² - 5) : (x - 2);

b) (3x³ - 7x + 2) : (2x² - 3).

Lời giải:

a) Thực hiện đặt phép chia ta được:

Vậy $\frac{4x^2-5}{x-2}=4x+8+\frac{11}{x-2}$.

b) Thực hiện đặt phép chia ta được:

Vậy $\frac{3x^3-7x+2}{2x^2-3}=\frac{3}{2}x+\frac{\frac{-5}{2}x+2}{2x^2-3}$.

Bài 5 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Tính chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích bằng (4y² + 4y - 3) cm² và chiều rộng bằng (2y - 1) cm.

Lời giải:

Chiều dài của hình chữ nhật là:

(4y² + 4y - 3) : (2y - 1) = 2y + 3 (cm)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đó bằng (2y + 3) cm.

Bài 6 trang 40 Toán 7 Tập 2:

Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng (3x³ + 8x² - 45x - 50) cm³, chiều dài bằng

(x + 5) cm và chiều cao bằng (x + 1) cm. Hãy tính chiều rộng của hình hộp chữ nhật đó.

Lời giải:

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là:

(3x³ + 8x² - 45x - 50) : (x + 1) = 3x² + 5x – 50 (cm)

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là:

(3x² + 5x – 50) : (x + 5) = 3x – 10 (cm)

Vậy chiều rộng của hình hộp chữ nhật bằng (3x - 10) cm.

Lý thuyết Toán 7 Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến - Chân trời sáng tạo

1. Phép nhân đa thức một biến

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân:

a) 3x. (2x² – 4x + 5);

b) (2x + 3). (x + 1).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 3x. (2x² – 4x + 5) = 3x. 2x² + 3x. (–4x) + 3x. 5

= 6x³ – 12x + 15x;

b) Ta có: (2x + 3). (x + 1) = 2x. (x + 1) + 3. (x + 1)

= 2x. x + 2x. 1 + 3. x + 3. 1

= 2x² + 2x + 3x + 3

= 2x² + (2x + 3x) + 3

= 2x² + 5x + 3.

2. Phép chia đa thức một biến

Trường hợp 1: Chia đa thức cho đa thức (chia hết)

Cho hai đa thức P và Q (với Q ≠ 0). Ta nói đa thức P chia hết cho đa thức Q nếu có đa thức M sao cho P = Q. M.

Ta gọi P là đa thức bị chia, Q là đa thức chia và M là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Kí hiệu M = P : Q hoặc M = $\frac{P}{Q}$.

Ví dụ: Thực hiện phép chia 6x⁶− 8x⁵ + 10x⁴ cho 2x³.

Hướng dẫn giải:

Ta có: (6x⁶ − 8x⁵ + 10x⁴): 2x³

= (6x⁶ : 2x³) – (8x⁵: 2x³) + (10x⁴ : 2x³)

= 3x³ − 4x² + 5x.

Chú ý: Để thực hiện phép chia đa thức, người ta thường viết các đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia.

Trường hợp 2: Chia đa thức cho đa thức (phép chia có dư)

Khi chia đa thức A cho đa thức B với thương là Q, dư là R thì A = B. Q + R, trong đó bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Ví dụ: Thực hiện phép chia: P(x) = 3x² − 5x + 2 cho Q(x) = x – 2.

Hướng dẫn giải: Thực hiện phép chia, ta được:

Do đó phép chia đa thức P(x) cho Q(x) là phép chia có dư với số dư là 4.

Vậy 3x² − 5x + 2= (x – 2). (3x + 1) + 4.

3. Tính chất của phép nhân đa thức một biến

Tính chất: Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số.

-Tính chất giao hoán: A. B = B. A;

-Tính chất kết hợp: A. (B. C) = (A. B). C.

Ví dụ: Thực hiện phép tính: 6. (x² – 2).$\frac{1}{2}$;

Hướng dẫn giải:

Ta có: 6. (x² – 2).$\frac{1}{2}$= 6. $\left((x^2-2).\frac{1}{2}\right)=\left(6.\frac{1}{2}\right).(x^2-2)$

= 3. (x² – 2) = 3x² – 6.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài 5: Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Cách tính điểm trung bình môn học kì

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Góc và cạnh của một tam giác