Giải Toán 7 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Đa thức một biến

Giải bài tập Toán 7 Bài 2: Đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 29 Tập 2

Khởi động trang 29 Toán 7 Tập 2:

Các biểu thức 2y + 5; 2x² - 4x + 7 được gọi là gì?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Các biểu thức 2y + 5; 2x² - 4x + 7 được gọi là các đa thức một biến.

Khám phá 1 trang 29 Toán 7 Tập 2:

Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào không chứa phép tính cộng, phép tính trừ?

3x²; 6 - 2y; 3t; 3t² - 4t + 5; -7;

3u⁴+ 4u²; -2z⁴; 1; 2021y².

Lời giải:

Các biểu thức không chứa phép tính cộng, phép tính trừ là: 3x²; 3t; -7; -2z⁴; 1; 2021y².

Giải Toán 7 trang 30 Tập 2

Thực hành 1 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến:

M = 3; N = 7x; P = 10 - y² + 5y; Q = $\frac{4t-7}{3}$; $R=\frac{2\text{x}-5}{1+x^2}$.

Lời giải:

Ta thấy các biểu thức M, N, P, Q là đa thức một biến.

Biểu thức R không là đa thức một biến vì có chứa biến ở mẫu.

Vậy các biểu thức M, N, P, Q là đa thức một biến.

Thực hành 2 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức P(x) = 7 + 4x² + 3x³ - 6x + 4x³ - 5x².

a) Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm của biến.

b) Xác định bậc của P(x) và tìm các hệ số.

Lời giải:

a) Thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm của biến, ta được:

P(x) = 7 + 4x² + 3x³ - 6x + 4x³ - 5x²

= (3x³ + 4x³) + (4x² - 5x²) - 6x + 7

= 7x³ - x² - 6x + 7.

b) Đa thức P(x) có hạng tử có bậc cao nhất là 7x³ nên bậc của đa thức P(x) bằng 3 và hệ số cao nhất của P(x) bằng 7.

Đa thức P(x) có hạng tử có bậc bằng 0 là 7.

Do đó hệ số tự do của đa thức P(x) bằng 7.

Khám phá 2 trang 30 Toán 7 Tập 2:

Diện tích của một hình chữ nhật được biểu thị bởi đa thức P(x) = 2x² + 4x. Hãy tính diện tích của hình chữ nhật ấy khi biết x = 3 cm.

Lời giải:

Thay x = 3 vào đa thức P(x) ta được:

P(3) = 2 . 3² + 4 . 3 = 2 . 9 + 12 = 30.

Vậy khi x = 3 cm thì diện tích hình chữ nhật đã cho bằng 30 cm².

Giải Toán 7 trang 31 Tập 2

Thực hành 3 trang 31 Toán 7 Tập 2:

Tính giá trị của đa thức M(t) = -5t³ + 6t² + 2t + 1 khi t = -2.

Lời giải:

Thay t = -2 vào đa thức M(t) ta được:

M(-2) = -5 . (-2)³ + 6 . (-2)² + 2 . (-2) + 1

= (-5) . (-8) + 6 . 4 + (-4) + 1 = 61.

Vậy khi t = -2 thì giá trị của đa thức M(t) bằng 61.

Vận dụng 1 trang 31 Toán 7 Tập 2:

Quãng đường một chiếc ô tô đi từ A đến B được tính theo biểu thức s = 16t, trong đó s là quãng đường tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính quãng đường ô tô đi được sau 10 giây.

Lời giải:

Quãng đường ô tô đi được sau 10 giây là:

16 . 10 = 160 (m).

Vậy quãng đường ô tô đi được sau 10 giây là 160 m.

Khám phá 3 trang 31 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức P(x) = x² - 3x + 2. Hãy tính giá trị của P(x) khi x = 1, x = 2 và x = 3.

Lời giải:

Khi x = 1, x = 2 và x = 3, ta có:

∙ P(1) = 1² - 3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.

∙ P(2) = 2² - 3.2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0.

∙ P(3) = 3² - 3.3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2.

Vậy P(1) = 0; P(2) = 0; P(3) = 2.

Thực hành 4 trang 31 Toán 7 Tập 2:

Cho P(x) = x³ + x² - 9x - 9. Hỏi mỗi số x = -1; x = 1 có phải là một nghiệm của P(x) không?

Lời giải:

Ta có P(-1) = (-1)³ + (-1)² - 9 . (-1) - 9 = (-1) + 1 + 9 - 9 = 0.

P(1) = 1³ + 1² - 9 . 1 - 9 = 1 + 1 - 9 - 9 = -16.

Ta thấy P(-1) = 0; P(1) = -16.

Do đó x = -1 là nghiệm của đa thức P(x).

Vận dụng 2 trang 31 Toán 7 Tập 2:

Diện tích một hình chữ nhật được cho bởi biểu thức S(x) = 2x² + x. Tính giá trị của S khi x = 4 và nêu một nghiệm của đa thức Q(x) = 2x² + x - 36.

Lời giải:

Ta có S(4) = 2 . 4² + 4 = 2 . 16 + 4 = 36.

Khi x = 4 thì Q(4) = 2 . 4² + 4 - 36 = 2 . 16 + 4 - 36 = 0.

Do đó x = 4 là một nghiệm của đa thức Q(x).

Vậy S(x) = 36 khi x = 4 và x = 4 là một nghiệm của đa thức Q(x).

Bài 1 trang 31 Toán 7 Tập 2:

Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đơn thức một biến.

a) 5x³; b) 3y + 5; c) 7,8; d) 23 . y . y².

Lời giải:

Các biểu thức là đơn thức một biến là: 5x³; 7,8; 23 . y . y².

Bài 2 trang 31 Toán 7 Tập 2:

Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến.

A = -32; B = 4x + 7; M = 15 - 2t³ + 8t;

N = $\frac{4-3y}{5}$; Q = $\frac{5\text{x}-1}{3{\text{x}}^2+2}$.

Lời giải:

Ta thấy các biểu thức A, B, M, N là đa thức một biến.

Biểu thức Q không là đa thức một biến vì có chứa biến ở mẫu.

Vậy các biểu thức A, B, M, N là đa thức một biến.

Giải Toán 7 trang 32 Tập 2

Bài 3 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Hãy cho biết bậc của các đa thức sau:

a) 3 + 2y; b) 0; c) 7 + 8; d) 3,2x³ + x⁴.

Lời giải:

a) Đa thức 3 + 2y có hạng tử có bậc cao nhất là 2y có bậc 4.

Do đó bậc của đa thức 3 + 2y bằng 1.

b) Đa thức 0 không có bậc.

c) Đa thức 7 + 8 có bậc bằng 0.

d) Đa thức 3,2x³ + x⁴ có hạng tử có bậc cao nhất là x⁴ có bậc 4.

Do đó bậc của đa thức 3,2x³ + x⁴ bằng 4.

Bài 4 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Hãy cho biết phần hệ số và phần biến của mỗi đa thức sau:

a) 4 + 2t - 3t³ + 2,3t⁴;

b) 3y⁷ + 4y³ - 8.

Lời giải:

a) Đa thức 4 + 2t - 3t³ + 2,3t⁴ là đa thức của biến t.

Hệ số tự do bằng 4; hệ số của t là 2; hệ số của t² là 0;

hệ số của t³ là - 3; hệ số của t⁴ là 2,3.

b) Đa thức 3y⁷ + 4y³ - 8 là đa thức của biến y.

Hệ số của y⁷ là 3; hệ số của y⁶ là 0; hệ số của y⁵ là 0; hệ số của y⁴ là 0;

hệ số của y³ là 4; hệ số của y² là 0; hệ số của y là 0; hệ số tự do bằng - 8;

Bài 5 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức P(x) = 7 + 10x² + 3x³ - 5x + 8x³ - 3x². Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm của biến.

Lời giải:

Ta có P(x) = 7 + 10x² + 3x³ - 5x + 8x³ - 3x²

= (3x³ + 8x³) + (10x² - 3x²) - 5x + 7

= 11x³ + 7x² - 5x + 7.

Bài 6 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức P(x) = 2x + 4x³ + 7x² - 10x + 5x³ - 8x². Hãy viết đa thức thu gọn, tìm bậc và các hệ số của đa thức P(x).

Lời giải:

Ta có P(x) = 2x + 4x³ + 7x² - 10x + 5x³ - 8x²

= (4x³ + 5x³) + (7x² - 8x²) + (-10x + 2x)

= 9x³ - x² - 8x.

Đa thức P(x) có hạng tử có bậc cao nhất là 9x³ có bậc bằng 3.

Do đó bậc của đa thức P(x) bằng 3.

Hệ số của x³ là 9; hệ số của -x² là -1; Hệ số của x là -8; hệ số tự do là 0.

Bài 7 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Tính giá trị của các đa thức sau:

a) P(x) = 2x³ + 5x² - 4x + 3 khi x = -2.

b) Q(y) = 2y³ - y⁴ + 5y² - y khi y = 3.

Lời giải:

a) Ta có P(-2) = 2 . (-2)³ + 5 . (-2)² - 4 . (-2) + 3

= 2 . (-8) + 5. 4 + 8 + 3

= -16 + 20 + 11 = 15.

Vậy khi x = -2 thì P(x) = 15.

b) Ta có Q(3) = 2 . 3³ - 3⁴ + 5 . 3² - 3

= 2 . 27 - 81 + 5. 9 - 3

= 54 - 81 + 45 - 3 = 15.

Vậy khi y = 3 thì Q(y) = 15.

Bài 8 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức M(t) = t + $\frac{1}{2}$t³.

a) Hãy nêu bậc và các hệ số của M(t).

b) Tính giá trị của M(t) khi t = 4.

Lời giải:

a) Đa thức M(t) = t + $\frac{1}{2}$t³ có bậc bằng 3.

Hệ số của t³ là $\frac{1}{2}$; hệ số của t² là 0; hệ số của t là 1; hệ số tự do là 0.

b) Khi t = 4, ta có:

M(4) = 4 + $\frac{1}{2}$.4³ = 4 + $\frac{1}{2}$. 64 = 4 + 32 = 36.

Vậy khi t = 4 thì M(t) = 36.

Bài 9 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Hỏi x = $-\frac{2}{3}$ có phải là một nghiệm của đa thức P(x) = 3x + 2 không?

Lời giải:

Với x = $-\frac{2}{3}$ ta có:

$P\left(-\frac{2}{3}\right)$ = 3 . $\left(-\frac{2}{3}\right)$ + 2 = (-2) + 2 = 0.

Vậy x = $-\frac{2}{3}$ là nghiệm của đa thức P(x).

Bài 10 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức Q(y) = 2y² - 5y + 3. Các số nào trong tập hợp $\left\{1;2;3;\frac{3}{2}\right\}$ là nghiệm của Q(y)?

Lời giải:

∙ Với x = 1: ta có Q(1) = 2 . 1² - 5.1 + 3 = 2 - 5 + 3 = 0.

∙ Với x = 2: ta có Q(2) = 2 . 2² - 5 . 2 + 3 = 2 . 4 - 10 + 3 = 1.

∙ Với x = 3: ta có Q(3) = 2 . 3² - 5 . 3 + 3 = 2 . 9 - 15 + 3 = 6.

∙ Với x = $\frac{3}{2}$: ta có $Q\left(\frac{3}{2}\right)$ = 2 . ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2$ - 5 . $\frac{3}{2}$ + 3

= 2 . $\frac{9}{4}$ - $\frac{15}{2}$ + $\frac{6}{2}$ = $\frac{9}{2}-\frac{15}{2}+\frac{6}{2}$ = 0.

Vậy y = 1 và y = $\frac{3}{2}$ là nghiệm của đa thức Q(y).

Bài 11 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Đa thức M(t) = 3 + t⁴ có nghiệm không? Vì sao?

Lời giải:

Vì t² ≥ 0 với mọi t nên t⁴ = (t²)² ≥ 0 với mọi t.

Suy ra M(t) = 3 + t⁴ ≥ 3 với mọi t.

Khi đó M(t) > 0 với mọi t.

Do đó không tồn tại giá trị của t để M(t) = 0.

Vậy đa thức M(t) không có nghiệm.

Bài 12 trang 32 Toán 7 Tập 2:

Một chiếc ca nô đang chạy với tốc độ v = 16 + 2t (v tính theo đơn vị mét/giây, t là thời gian tính theo đơn vị giây). Tính tốc độ của ca nô với t = 5.

Lời giải:

Tốc độ của ca nô với t = 5 là:

16 + 2 . 5 = 26 (mét/giây).

Vậy với t = 5 thì tốc độ của ca nô bằng 26 mét/giây.

Lý thuyết Toán 7 Bài 2: Đa thức một biến - Chân trời sáng tạo

1. Đa thức một biến

Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và biến đó.

Ví dụ: 6t; –7; 2z⁴; 2022y²; –3x² là những đơn thức một biến.

Ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn thức cùng một biến.

Ví dụ: 2x + 3x = 5x; 3y – 7y = –4y; 2t. 3t² = 6t³

- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức cùng một biến. Đơn thức một biến cũng là đa thức một biến.

Ví dụ:

- A = 5x⁵ + 3x³ + 2x² + x. Đa thức A là đa thức một biến (biến x).

- B =– 8y + 2y² + 1. Đa thức B là đa thức một biến (biến y).

- C = 5 – 2t + 4t² + 9t⁴. Đa thức C là đa thức một biến (biến t).

- D = 2 thì ta có thể viết C = 0x + 2 nên C cũng là đa thức một biến.

Quy ước: P = 0 được gọi là đa thức không.

2. Cách biểu diễn đa thức một biến

- Để thuận tiện cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, ta thường viết đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ: Thu gọn đa thức: P = 2x² + 3x + 2x – 4 + x². Tìm bậc và hệ số cao nhất của đa thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có: P = 2x² + 3x + 2x – 4 + x²

= (2x² + x²) + (3x + 2x) – 4

= 3x² + 5x – 4.

Trong đa thức trên, số mũ cao nhất của x là 2 nên bậc của đa thức là 2.

Hệ số của x² là 3, gọi là hệ số cao nhất.

Vậy đa thức thu gọn của đa thức P là đa thức 3x² + 5x – 4 hoặc đa thức – 4 + 5x + 3x². Bậc của đa thức P(x) là 2, hệ số cao nhất là 3.

Chú ý:

- Số thực khác 0 được gọi là đa thức bậc 0.

- Số 0 được gọi là đa thức không có bậc.

Ví dụ: Các số −3; $\frac{-1}{2}$; 1; $2\frac{1}{3}$ được gọi là đa thức bậc 0.

3. Giá trị của đa thức một biến

Để tính giá trị của đa thức một biến ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc);

- Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ).

Ví dụ: Tính giá trị của đa thức A (x) = 2x⁴ – 8x² + 5x – 7 khi x = 3.

Hướng dẫn giải:

Thay x = 3 vào đa thức trên, ta được:

A = 2x⁴ – 8x² + 5x – 7

= 2.3⁴ – 8.3² + 5.3 – 7

= 2.81 – 8.9 + 15 – 7

= 162 – 72 + 15 – 7 = 98.

Vậy khi x = 3 thì giá trị của đa thức A(x) là 98.

4. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu đa thức P(x) có giá trị bằng 0 tại x = a thì ta nói a hoặc x = a là một nghiệm của đa thức đó.

Chú ý:

- Một đa thức (khác đa thức không) có thể có 1; 2; 3; ...; n nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

- Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt qua bậc của nó.

Ví dụ 1: Nêu các nghiệm của đa thức sau:

a) P(x) = 2x + 4;

b) M(t) = t² – 4x + 3.

Hướng dẫn giải:

a) x = – 2 là một nghiệm của đa thức P(x) = 2x + 4 vì P(–2) = 2. (–2) + 4 = 0.

b) Đa thức M(t) = t² – 4x + 3 có các nghiệm là t = 1 và t = 3 vì:

M(1) = 1² – 4. 1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0;

M(3) = 3² – 4. 3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức P(y) = 2y + 6.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2y + 6 = 0

2y = −6

y = (−6): 2

y = −3

Vậy nghiệm của đa thức P(y)là –3.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Biểu thức số, biểu thức đại số

Bài 2: Đa thức một biến

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài 5: Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Cách tính điểm trung bình môn học kì