Giải Toán 7 Bài 8 (Chân trời sáng tạo): Tính chất ba đường cao của tam giác

Giải bài tập Toán 7 Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 77 Tập 2

Khởi động trang 77 Toán 7 Tập 2:

Làm thế nào để tính khoảng cách từ mỗi đỉnh đến cạnh đối diện của một tam giác?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện là độ dài đường cao của tam giác.

Do đó để tính khoảng cách từ mỗi đỉnh đến cạnh đối diện của tam giác, ta tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh đến cạnh đối diện của đỉnh đó trong tam giác.

Khám phá 1 trang 77 Toán 7 Tập 2:

Em hãy vẽ một tam giác ABC trên giấy, sau đó dùng êke vẽ đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh đối diện AC của tam giác.

Lời giải:

* Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC.

- Đặt thước êke sao cho một cạnh góc vuông của thước trùng với cạnh AC và cạnh còn lại đi qua đỉnh của B của tam giác.

- Kẻ đường thẳng BH dọc theo cạnh góc vuông còn lại của thước (H ΠAC).

Khi đó, BH là đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh đối diện AC của tam giác.

Ta có hình vẽ sau:

Thực hành 1 trang 77 Toán 7 Tập 2:

Vẽ ba đường cao AH, BK, CE của tam giác nhọn ABC.

Lời giải:

* Cách vẽ:

- Vẽ tam giác nhọn ABC.

- Từ ba điểm A, B, C lần lượt vẽ các đường vuông góc đến BC, AC, AB tại các điểm H, K, E.

Khi đó, AH, BK, CE là ba đường cao của tam giác nhọn ABC.

* Ta có hình vẽ sau:

Vận dụng 1 trang 77 Toán 7 Tập 2:

Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC (Hình 2a).

Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh F của tam giác tù DEF (Hình 2b).

Lời giải:

+) Hình 2a:

Tam giác ABC có $\widehat{BAC}=90°$ nên BA $\perp$ AC.

Do đó đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC là đường thẳng BA.

+) Hình 2b:

Ta kéo dài đường thẳng ED, từ F vẽ FH $\perp$ ED tại H, ta có FH là đường cao kẻ từ F đến DE.

Ta có hình vẽ sau:

Khám phá 2 trang 77 Toán 7 Tập 2:

Vẽ một tam giác rồi dùng êke vẽ ba đường cao của tam giác ấy (Hình 3). Em hãy quan sát và cho biết các đường cao vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.

Lời giải:

* Cách vẽ:

- Vẽ tam giác ABC.

- Vẽ ba đường cao AH, BK, CI của tam giác ABC.

* Ta có hình vẽ:

Vậy ba đường cao vừa vẽ cùng đi qua một điểm, điểm này là điểm O trong hình vẽ trên.

Giải Toán 7 trang 78 Tập 2

Thực hành 2 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (Hình 6).

Chứng minh rằng NS vuông góc với ML.

Lời giải:

Do ∆LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (giả thiết)

Nên S là trực tâm của ∆LMN.

Do đó NS $\perp$ ML.

Vận dụng 2 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HAB, HAC.

Lời giải:

+) Tìm trực tâm của tam giác HBC:

Tam giác HBC có HD ⊥ BC, CE ⊥ HB

Do đó HD và CE là hai đường cao của tam giác HBC.

Mà HD và CE cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.

Vậy A là trực tâm của tam giác HBC.

+) Tìm trực tâm của tam giác HAB:

Tam giác HAB có HF ⊥ AB, BD ⊥ AH

Do đó HF, BD là hai đường cao của tam giác HAB.

Mà HF và BD cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác HAB.

Vậy C là trực tâm của tam giác HAB.

+) Tìm trực tâm của tam giác HAC:

Tam giác HAC có HE ⊥ AC, AF ⊥ HC

Do đó HE, AF là hai đường cao của tam giác HAC.

Mà HE và AF cắt nhau tại B nên B là trực tâm của tam giác HAC.

Vậy B là trực tâm của tam giác HAC.

B. Bài tập

Bài 1 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HM vuông góc với BC tại M. Tia MH cắt tia CA tại N. Chứng minh rằng CH vuông góc với NB.

Lời giải:

Xét tam giác BNC có: BA ⊥ NC, NM ⊥ BC

Do đó BA, NM là hai đường cao của tam giác BNC.

Mà BA và NM cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BNC.

Do đó CH ⊥ NB.

Vậy CH ⊥ NB.

Bài 2 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Lời giải:

Gọi N là giao điểm của BH và MC.

Xét $∆$BMN và $∆$BCN có:

BM = BC (giả thiết),

$\widehat{MBN}=\widehat{CBN}$ (do BN là tia phân giác của góc B),

BN là cạnh chung,

Do đó $∆$BMN = $∆$BCN (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BNM}=\widehat{BNC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BNM}+\widehat{BNC}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{BNM}=\widehat{BNC}=\frac{{180}^o}{2}={90}^o$ hay BN ⊥ MC.

Tam giác BMC có CA ⊥ BM (do CA ⊥ BA), BN ⊥ MC (chứng minh trên)

Do đó CA, BN là hai đường cao của tam giác BMC.

Mà CA và BN cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BMC.

Do đó MH ⊥ BC.

Bài 3 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC;

b) BE vuông góc với DC.

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của DE và BC.

Tam giác ABC vuông cân tại A (giả thiết) nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45°$.

Tam giác ADE vuông tại A lại có có AD = AE (giả thiết) nên tam giác ADE vuông cân tại A.

Do đó $\widehat{A\text{D}E}=\widehat{A\text{ED}}=45°$.

Xét tam giác BDK có: $\widehat{DBK}+\widehat{BDK}+\widehat{BKD}=180°$ (tổng số đo ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{BKD}=180°-\widehat{DBK}-\widehat{BDK}$

Hay $\widehat{BKD}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ADE}$

Do đó $\widehat{BKD}=180°-45°-45°=90°$

Suy ra DK $\perp$ BC

Vậy DE $\perp$ BC.

b) Tam giác BDC có: CA $\perp$ BD, DK $\perp$ BC

Do đó CA, DK là hai đường cao của tam giác BDC.

Mà CA và DK cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác BDC.

Suy ra BE $\perp$ DC.

Vậy BE $\perp$ DC.

Bài 4 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải:

• Xét ∆FBC (vuông tại F) và ∆ECB (vuông tại E) có:

CF = BE (giả thiết);

BC là cạnh chung.

Do đó ∆FBC = ∆ECB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ 

Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Suy ra AB = AC (1).

• Tương tự ta cũng có ∆ABD = ∆BAE (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{BAE}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{ABC}=\widehat{BAC}$ do đó tam giác ABC cân tại C.

Suy ra CA = CB (2).

Từ (1) và (2) ta có AB = BC = CA

Do đó tam giác ABC đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 10: Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Làm giàn hoa tam giác để trang trí lớp học

Bài tập cuối chương 8