Bài 2 trang 78 Toán 7 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 2 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC vuông tại A; M thuộc tia BA, BM = BC; AH là tia phân giác của góc B, H ∈ AC.
KL	MH $\perp$BC.

 

Gọi N là giao điểm của BH và MC.

Xét $∆$BMN và $∆$BCN có:

BM = BC (giả thiết),

$\widehat{MBN}=\widehat{CBN}$ (do BN là tia phân giác của góc B),

BN là cạnh chung,

Do đó $∆$BMN = $∆$BCN (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BNM}=\widehat{BNC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BNM}+\widehat{BNC}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{BNM}=\widehat{BNC}=\frac{{180}^o}{2}={90}^o$ hay BN ⊥ MC.

Tam giác BMC có CA ⊥ BM (do CA ⊥ BA), BN ⊥ MC (chứng minh trên)

Do đó CA, BN là hai đường cao của tam giác BMC.

Mà CA và BN cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BMC.

Do đó MH ⊥ BC.