Giải Toán 7 trang 78 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 trang 78 Tập 2

Thực hành 2 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (Hình 6).

 

Chứng minh rằng NS vuông góc với ML.

Lời giải:

Do ∆LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (giả thiết)

Nên S là trực tâm của ∆LMN.

Do đó NS $\perp$ ML.

Vận dụng 2 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HAB, HAC.

Lời giải:

 

+) Tìm trực tâm của tam giác HBC:

Tam giác HBC có HD ⊥ BC, CE ⊥ HB

Do đó HD và CE là hai đường cao của tam giác HBC.

Mà HD và CE cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.

Vậy A là trực tâm của tam giác HBC.

+) Tìm trực tâm của tam giác HAB:

Tam giác HAB có HF ⊥ AB, BD ⊥ AH

Do đó HF, BD là hai đường cao của tam giác HAB.

Mà HF và BD cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác HAB.

Vậy C là trực tâm của tam giác HAB.

+) Tìm trực tâm của tam giác HAC:

Tam giác HAC có HE ⊥ AC, AF ⊥ HC

Do đó HE, AF là hai đường cao của tam giác HAC.

Mà HE và AF cắt nhau tại B nên B là trực tâm của tam giác HAC.

Vậy B là trực tâm của tam giác HAC.

B. Bài tập

Bài 1 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HM vuông góc với BC tại M. Tia MH cắt tia CA tại N. Chứng minh rằng CH vuông góc với NB.

Lời giải:

GT	$∆$ABC vuông tại A; H thuộc cạnh AB; HM $\perp$ BC; tia MH cắt tia CA tại N.
KL	CH $\perp$ NB.

 

 

Xét tam giác BNC có: BA ⊥ NC, NM ⊥ BC

Do đó BA, NM là hai đường cao của tam giác BNC.

Mà BA và NM cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BNC.

Do đó CH ⊥ NB.

Vậy CH ⊥ NB.

Bài 2 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC vuông tại A; M thuộc tia BA, BM = BC; AH là tia phân giác của góc B, H ∈ AC.
KL	MH $\perp$BC.

 

Gọi N là giao điểm của BH và MC.

Xét $∆$BMN và $∆$BCN có:

BM = BC (giả thiết),

$\widehat{MBN}=\widehat{CBN}$ (do BN là tia phân giác của góc B),

BN là cạnh chung,

Do đó $∆$BMN = $∆$BCN (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BNM}=\widehat{BNC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BNM}+\widehat{BNC}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{BNM}=\widehat{BNC}=\frac{{180}^o}{2}={90}^o$ hay BN ⊥ MC.

Tam giác BMC có CA ⊥ BM (do CA ⊥ BA), BN ⊥ MC (chứng minh trên)

Do đó CA, BN là hai đường cao của tam giác BMC.

Mà CA và BN cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác BMC.

Do đó MH ⊥ BC.

Bài 3 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC;

b) BE vuông góc với DC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC vuông cân tại A, E thuộc cạnh AC, D thuộc tia đối của tia AB, AD = AE
KL	a) DE $\perp$ BC. b) BE $\perp$ DC.

 

 

Gọi K là giao điểm của DE và BC.

Tam giác ABC vuông cân tại A (giả thiết) nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45°$.

Tam giác ADE vuông tại A lại có có AD = AE (giả thiết) nên tam giác ADE vuông cân tại A.

Do đó $\widehat{A\text{D}E}=\widehat{A\text{ED}}=45°$.

Xét tam giác BDK có: $\widehat{DBK}+\widehat{BDK}+\widehat{BKD}=180°$ (tổng số đo ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{BKD}=180°-\widehat{DBK}-\widehat{BDK}$

Hay $\widehat{BKD}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ADE}$

Do đó $\widehat{BKD}=180°-45°-45°=90°$

Suy ra DK $\perp$ BC

Vậy DE $\perp$ BC.

b) Tam giác BDC có: CA $\perp$ BD, DK $\perp$ BC

Do đó CA, DK là hai đường cao của tam giác BDC.

Mà CA và DK cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác BDC.

Suy ra BE $\perp$ DC.

Vậy BE $\perp$ DC.

Bài 4 trang 78 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải:

GT	$∆$ABC nhọn, AD, BE, CF là ba đường cao của tam giác, AD = BE = CF
KL	$∆$ABC đều.

 

 

• Xét ∆FBC (vuông tại F) và ∆ECB (vuông tại E) có:

CF = BE (giả thiết);

BC là cạnh chung.

Do đó ∆FBC = ∆ECB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ 

Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Suy ra AB = AC (1).

• Tương tự ta cũng có ∆ABD = ∆BAE (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{BAE}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{ABC}=\widehat{BAC}$ do đó tam giác ABC cân tại C.

Suy ra CA = CB (2).

Từ (1) và (2) ta có AB = BC = CA

Do đó tam giác ABC đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 7 trang 77 Tập 2

Giải Toán 7 trang 78 Tập 2