Bài 4 trang 63 Toán 7 Tập 2 | Chân trời Sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tam giác cân 

Bài 4 trang 63 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

 

a) Chứng minh rằng $\widehat{ABF}=\widehat{ACE}$.

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và tam giác IEF là những tam giác cân.

Lời giải:

a) Theo đề bài, tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Vì BF là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên: $\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ 

Vì CE là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên: $\widehat{AC\text{E}}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ 

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\widehat{AC\text{E}}=\widehat{ECB}$

Vậy $\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$.

b) Xét ∆ABF và ∆ACE có:

$\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$ (chứng minh câu a);

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{A}$ là góc chung.

Do đó ∆ABF = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AF = AE (hai cạnh tương ứng).

Tam giác AEF có AF = AE nên tam giác AEF cân tại A.

c) Ta có $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh câu a) nên $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$.

Tam giác IBC có $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ nên tam giác IBC cân tại I.

Do đó IB = IC.

Xét ∆EIB và ∆FIC có:

$\widehat{EIB}=\widehat{FIC}$ (hai góc đối đỉnh);

IB = IC (chứng minh trên);

$\widehat{EBI}=\widehat{FCI}$ (do $\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$).

Do đó ∆EIB = ∆FIC (g.c.g).

Suy ra IE = IF (hai cạnh tương ứng).

Tam giác IEF có IE = IF nên tam giác IEF cân tại I.