Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán lớp 10 trang 57 Tập 2 trong Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 57 Tập 2.

1 831 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 10 trang 57 Tập 2

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B}$ = (4; 1), $\vec{A C}$ = (3; 3), $\vec{B C}$ = (−1; 2)

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận $\vec{A B}$ = (4; 1) làm vectơ chỉ phương nên nhận vectơ $\vec{n_{1}}$ =(1; −4) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x − 1) − 4(y − 1) = 0 ⇔ x − 4y + 3 = 0

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận $\vec{A C}$ = (3; 3) làm vectơ chỉ phương nên nhận $\vec{n_{2}}$ = (3; −3) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x − 1) − 3(y − 1) = 0 ⇔ x − y = 0

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận $\vec{B C}$ =(−1; 2) làm vectơ chỉ phương nên nhận $\vec{n_{3}}$ = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x − 4) + (y − 4) = 0 ⇔ 2x + y − 12 = 0

Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là: d(A; BC) = $\frac{| 2.1 + 1 - 12 |}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2}}}$ = $\frac{9}{\sqrt{5}}$ .

Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là: d(B; AC) = $\frac{| 5 - 2 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}}$ = $\frac{3}{\sqrt{2}}$ .

Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là: d(C; AB) = $\frac{| 4 - 4.4 + 3 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2}}}$ = $\frac{9}{\sqrt{17}}$ .

Vậy độ dài các đường cao của tam giác ABC lần lượt là: $\frac{9}{\sqrt{5}}$ , $\frac{3}{\sqrt{2}}$ , $\frac{9}{\sqrt{17}}$ .

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0.

Lời giải:

Hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0 đều có vectơ pháp tuyến là : $\vec{n}$ = (4 ; −3)

Suy ra d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy A(0; 4) ∈ d₂. Thay tọa độ của A vào d₁ ta có: 4.0 – 3.4 + 2 = −10 ≠ 0 ⇒ A ∉ d₁.

Vậy d₁ và d₂ song song với nhau.

Khi đó khoảng cách từ A đến d₁ chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Ta có d(A, d₁) = $\frac{| 4.0 - 3.4 + 2 |}{\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}}$ = $\frac{10}{5}$ = 2.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 2.

Bài tập 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(−1; 5) và có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (2; 1)

b) d đi qua điểm B(4; −2) và có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (3; −2)

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = −2

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Lời giải:

a) Ta có $\vec{u}$ = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận $\vec{n}$ = (1; −2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\vec{u}$ = (2; 1) là vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 5 + t \end{cases}$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\vec{n}$ = (1; −2) là vectơ pháp tuyến là: 1(x + 1) −2(y − 5) = 0 ⇔ x − 2y + 11 = 0

Vậy phương trình tham số của d là $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 5 + t \end{cases}$ ; phương trình tổng quát của d là x − 2y + 11 = 0

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; −2) và nhận $\vec{n}$ = (3; −2) là vectơ pháp tuyến là: 3(x − 4) − 2(y + 2) = 0 ⇔ 3x − 2y – 16 = 0.

Ta có $\vec{n}$ = (3; −2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận $\vec{u}$ = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; −2) và nhận $\vec{u}$ = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = - 2 + 3 t \end{cases}$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x − 2y – 16 = 0; phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = - 2 + 3 t \end{cases}$

c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + b

Vì hệ số góc k = −2 nên ta có: y = −2x + b

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = −2. 1 + b ⇒ b = 3

⇒ Phương trình tổng quát của d là: y = −2x + 3 ⇔ 2x + y − 3 = 0.

Ta có: d nhận $\vec{n}$ = (2; 1) là vectơ pháp tuyến ⇒ $\vec{u}$ = (1; −2) là vectơ chỉ phương của d.

⇒ Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận $\vec{u}$ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + y − 3 = 0; phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - 2 t \end{cases}$

d) Ta có: $\vec{Q R}$ = (−3; 2) là vectơ chỉ phương của d ⇒ d nhận $\vec{n}$ = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\vec{Q R}$ = (−3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\vec{n}$ = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 3) + 3(y − 0) = 0 ⇔ 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 6 = 0; phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 3 - 3 t \\ y = 2 t \end{cases}$ .

Bài tập 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c) Lập phương trình của đường cao AH.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (ảnh 1)

a) Ta có $\vec{B C}$ = (4; 2) ⇒ đường thẳng BC nhận $\vec{n}$ = (2; −4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận $\vec{n}$ = (2; −4) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − 4(y − 2) = 0 ⇔ 2x − 4y + 6 = 0 ⇔ x − 2y + 3 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x − 2y + 3 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ M( $\frac{1 + 5}{2}$ ; $\frac{2 + 4}{2}$ ) ⇒ M(3; 3)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận $\vec{A M}$ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 5 - 2 t \end{cases}$

Vậy phương trình tham số của trung tuyến AM là: $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 5 - 2 t \end{cases}$ .

c) Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận $\vec{B C}$ = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là: 4(x − 2) + 2(y − 5) = 0 ⇔ 4x + 2y – 18 = 0 ⇔ 2x + y – 9 = 0.

Vậy phương trình dường cao AH là: 2x + y – 9 = 0.

Bài tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b) Δ đi qua B(−1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Vì Δ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên Δ nhận $\vec{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến và $\vec{u}$ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương.

⇒ Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua A(2; 1) và nhận $\vec{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 3(x − 2) + 1(y − 1) = 0 ⇔ 3x + y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua A(2; 1) và nhận $\vec{u}$ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 3 t \end{cases}$ .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là 3x + y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 3 t \end{cases}$ .

b) Vì Δ vuông góc với đường thẳng 2x − y − 2 = 0 nên Δ nhận $\vec{u}$ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương và $\vec{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

⇒ Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua B(−1; 4) và nhận $\vec{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến là: 1(x + 1) + 2(y − 4) = 0 ⇔ x + 2y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua B(−1; 4) và nhận $\vec{u}$ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương là: $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 4 - t \end{cases}$ .