Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 57 Tập 2

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (4; 1), $\overrightarrow{AC}$ = (3; 3), $\overrightarrow{BC}$ = (−1; 2)

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận $\overrightarrow{AB}$ = (4; 1) làm vectơ chỉ phương nên nhận vectơ $\overrightarrow{n_1}$ =(1; −4) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x − 1) − 4(y − 1) = 0 ⇔ x − 4y + 3 = 0

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận  $\overrightarrow{AC}$ = (3; 3) làm vectơ chỉ phương nên nhận  $\overrightarrow{n_2}$= (3; −3) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x − 1) − 3(y − 1) = 0 ⇔ x − y = 0

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận  $\overrightarrow{BC}$ =(−1; 2) làm vectơ chỉ phương nên nhận  $\overrightarrow{n_3}$ = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x − 4) + (y − 4) = 0 ⇔ 2x + y − 12 = 0

Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là: d(A; BC) = $\frac{|2.1+\text{ 1 }-12|}{\sqrt{{(-1)}^2+2^2}}$  = $\frac{9}{\sqrt{5}}$ .

Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là: d(B; AC) = $\frac{|5-2|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}$ = $\frac{3}{\sqrt{2}}$ .

Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là: d(C; AB) = $\frac{|4-4.4+3|}{\sqrt{1^2+{(-4)}^2}}$ = $\frac{9}{\sqrt{17}}$ .

Vậy độ dài các đường cao của tam giác ABC lần lượt là: $\frac{9}{\sqrt{5}}$ , $\frac{3}{\sqrt{2}}$ , $\frac{9}{\sqrt{17}}$ .

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0.

Lời giải:

Hai đường thẳng d₁: 4x − 3y + 2 = 0 và d₂: 4x − 3y + 12 = 0 đều có vectơ pháp tuyến là : $\overrightarrow{n}$  = (4 ; −3)

Suy ra d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy A(0; 4) ∈ d₂. Thay tọa độ của A vào d₁ ta có: 4.0 – 3.4 + 2 = −10 ≠ 0 ⇒ A ∉ d₁.

Vậy d₁ và d₂ song song với nhau.

Khi đó khoảng cách từ A đến d₁ chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Ta có d(A, d₁) = $\frac{|4.0-3.4+2|}{\sqrt{4^2+{(-3)}^2}}$  = $\frac{10}{5}$  = 2.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 2.

Bài tập 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(−1; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1)

b) d đi qua điểm B(4; −2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; −2)

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = −2

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2)

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{u}$  = (2; 1) là vectơ chỉ phương của d nên d nhận $\overrightarrow{n}$  = (1; −2) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; 1) là vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}\right.$

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A(−1; 5) và nhận $\overrightarrow{n}$   = (1; −2) là vectơ pháp tuyến là: 1(x + 1) −2(y − 5) = 0 ⇔ x − 2y + 11 = 0

Vậy phương trình tham số của d là  $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=5+t\end{array}\right.$; phương trình tổng quát của d là x − 2y + 11 = 0

b) Phương trình tổng quát của d đi qua B(4; −2) và nhận $\overrightarrow{n}$  = (3; −2) là vectơ pháp tuyến là: 3(x − 4) − 2(y + 2) = 0 ⇔ 3x − 2y – 16 = 0.

Ta có $\overrightarrow{n}$ = (3; −2) là vectơ pháp tuyến của d nên d nhận $\overrightarrow{u}$  = (2; 3) là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua B(4; −2) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; 3) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 3x − 2y – 16 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\ y=-2+3t\end{array}\right.$

c) Ta có: d là đồ thị của hàm số bậc nhất y = kx + b

Vì hệ số góc k = −2 nên ta có: y = −2x + b

Lại có d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ P vào hàm số bậc nhất ta được: 1 = −2. 1 + b ⇒ b = 3 

⇒ Phương trình tổng quát của d là: y = −2x + 3 ⇔ 2x + y − 3 = 0.

Ta có: d nhận  $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) là vectơ pháp tuyến ⇒ $\overrightarrow{u}$  = (1; −2) là vectơ chỉ phương của d.

⇒ Phương trình tham số của d đi qua P(1; 1) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + y − 3 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1-2t\end{array}\right.$

d) Ta có: $\overrightarrow{QR}$ = (−3; 2) là vectơ chỉ phương của d ⇒ d nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tham số của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\overrightarrow{QR}$ = (−3; 2) làm vectơ chỉ phương là:

Phương trình tổng quát của d đi qua Q(3; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 3) + 3(y − 0) = 0 ⇔ 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy đường thẳng d có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 6 = 0; phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=3-3t\\ y=2t\end{array}\right.$ .

Bài tập 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AM

c) Lập phương trình của đường cao AH.

Lời giải:

a) Ta có  $\overrightarrow{BC}$ = (4; 2) ⇒ đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; −4) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC đi qua B(1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; −4) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − 4(y − 2)  = 0 ⇔ 2x − 4y + 6 = 0 ⇔ x − 2y + 3 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x − 2y + 3 = 0.

b) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ M( $\frac{1+5}{2}$; $\frac{2+4}{2}$ ) ⇒ M(3; 3)

Phương trình tham số của trung tuyến AM đi qua A(2; 5) và nhận $\overrightarrow{AM}$ = (1; −2) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=5-2t\end{array}\right.$

Vậy phương trình tham số của trung tuyến AM là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=5-2t\end{array}\right.$ .

c) Phương trình đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận $\overrightarrow{BC}$ = (4; 2) là vectơ pháp tuyến là: 4(x − 2) + 2(y − 5) = 0 ⇔ 4x + 2y – 18 = 0 ⇔ 2x + y – 9 = 0.

Vậy phương trình dường cao AH là: 2x + y – 9 = 0.

Bài tập 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2:  Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b) Δ đi qua B(−1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Vì Δ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên Δ nhận $\overrightarrow{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến và  $\overrightarrow{u}$ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương.

⇒ Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua A(2; 1) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (3; 1) làm vectơ pháp tuyến là: 3(x − 2) + 1(y − 1) = 0 ⇔  3x + y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua A(2; 1) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (1; −3) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-3t\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là 3x + y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-3t\end{array}\right.$ .

b) Vì Δ vuông góc với đường thẳng 2x − y − 2 = 0 nên Δ nhận  $\overrightarrow{u}$ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương và $\overrightarrow{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

⇒ Phương  trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua B(−1; 4) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 2) làm vectơ pháp tuyến là:  1(x +  1)  + 2(y − 4) = 0 ⇔  x + 2y – 7 = 0.

Phương trình tham số của Δ đi qua B(−1; 4) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (2; −1) làm vectơ chỉ phương là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=4-t\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng Δ là x + 2y – 7 = 0; phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=4-t\end{array}\right.$ .

Bài tập 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a) d₁: x − y + 2 = 0 và d₂: x + y + 4 = 0

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+5t\end{array}\right.$  và d₂: 5x − 2y  + 9 = 0

c) d₁:  $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ và d₂: 3x + y – 11 = 0.

Lời giải:

a) Ta có d₁ và d₂ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; −1) và $\overrightarrow{n_2}$ = (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$ = 1. 1 + 1. (−1) = 0 ⇒  $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ $\overrightarrow{n_2}$. Do đó d₁ ⊥ d₂.

Tọa độ M là giao điểm của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x+y+4=0\end{array}\right.$  ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-1\end{array}\right.$  ⇒ M(−3; −1).

Vậy d₁ vuông góc với d₂ và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có $\overrightarrow{u_1}$ = (2; 5) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$ = (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Ta có : $\overrightarrow{n_2}$ = (5; −2) là vectơ pháp tuyến của d₂.

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ = $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3) ∈ d₁, thay tọa độ của M vào phương trình d₂, ta được:

5. 1 − 2. 3 + 9 = 0 ⇔ 8 = 0 (vô lí)

⇒ M ∉ d₂. 

Vậy d₁ // d₂.

c) Ta có $\overrightarrow{u_1}$  = (−1; 3) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$  = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Ta có: $\overrightarrow{n_2}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₂.

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ = $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5) ∈ d₁, thay tọa độ của N vào phương trình d₂, ta được: 3. 2 + 5 − 11 = 0.

⇒ N ∈ d₂.     

Vậy d₁ trùng d₂.         

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 46 Tập 2

Giải Toán 10 trang 47 Tập 2

Giải Toán 10 trang 48 Tập 2

Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

Giải Toán 10 trang 53 Tập 2

Giải Toán 10 trang 54 Tập 2

Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

Giải Toán 10 trang 57 Tập 2

Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố