Giải Toán 10 trang 58 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

Bài tập 5 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ . Tìm giao điểm của d với hai trục tọa độ.

Lời giải:

Giao điểm A của d và trục Ox là nghiệm của hệ phương trình:  $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{5}{3}=\frac{11}{3}\\ t=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$  ⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{11}{3}\\ y=0\end{array}\right.$

⇒ $A\left(\frac{11}{3};0\right)$

Giao điểm B của d và trục Oy là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0=2-t\\ y=5+3t\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}t=2\\ y=11\end{array}\right.$

⇒ $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=11\end{array}\right.$

⇒ B(0; 11).

Vậy d cắt hai trục tọa độ tại các điểm  $A\left(\frac{11}{3};0\right)$ và  B(0; 11).

Bài tập 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

a) d₁: x − 2y + 3 = 0 và d₂: 3x − y − 11 = 0;

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3+5t\end{array}\right.$ và d₂: x + 5y – 5 = 0 ;

c) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=7+4t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=t\text{'}\\ y=-9+2t\text{'}\end{array}\right.$ .

Lời giải:

a) d₁: x − 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$  =(1 ; −2) ; d₂: 3x − y − 11 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$=(3; −1).

Khi đó cos(d₁, d­₂) = $\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}$ = $\frac{\left|1.3+(-2).(-1)\right|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2}.\sqrt{3^2+{(-1)}^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ (d₁, d₂) = 45°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 45°.

b) d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3+5t\end{array}\right.$  có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}$  = (1; 5) nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$  = (5; −1).

d₂: x + 5y – 5 = 0  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$ = (1; 5)

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ . $\overrightarrow{n_2}$  = 5. 1 + (−1). 5 = 0 ⇒  $\overrightarrow{n_1}$ ⊥ $\overrightarrow{n_2}$  ⇒ (d₁, d₂) = 90°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 90°.

c) Hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$  = (2; 4) và  $\overrightarrow{u_2}$ = (1; 2).

Ta có: $\overrightarrow{u_1}$  = 2$\overrightarrow{u_2}$  ⇒  $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$  cùng phương.

⇒ d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau

⇒ (d₁, d₂) = 0°.

Vậy số đo góc xen giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 0°.

Bài tập 7 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

a) M(1; 2) và Δ: 3x − 4y + 12 = 0;       

b) M(4; 4) và Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}\right.$ ;

c) M(0; 5) và Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}\right.$

d) M(0; 0) và Δ: 3x + 4y – 25 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: d(M; Δ) = $\frac{\left|3.1-4.2+12\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}$ = $\frac{7}{5}$ .

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{7}{5}$ .

b) Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\end{array}\right.$ đi qua điểm O(0; 0) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ =(1; −1) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ =(1; 1) làm vectơ pháp tuyến.

 Khi đó, phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm O(0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}$= (1; 1) làm vectơ pháp tuyến là: x + y = 0

d(M; Δ) = $\frac{\left|4+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$ = $\frac{8}{\sqrt{2}}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{8}{\sqrt{2}}$ .

c) Δ:  $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{19}{4}\end{array}\right.$ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$ ) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  = (1; 0) nên nhận vectơ $\overrightarrow{n}$  = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của Δ đi qua điểm A(0; $-\frac{19}{4}$ ) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (0; 1) làm vectơ pháp tuyến là:  0(x − 0) + (y + $\frac{19}{4}$ ) = 0 ⇔ y + $\frac{19}{4}$  = 0.

d(M; Δ) =  $\frac{\left|5+\frac{19}{4}\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}$ = $\frac{39}{4}$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là $\frac{39}{4}$ .

d) Đường thẳng Δ: 3x + 4y – 25 = 0 nhận $\overrightarrow{n}$  = (3 ; 4) làm vectơ pháp tuyến

Khi đó  d(M; Δ) = $\frac{\left|3.0+4.0–25\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$  = $\frac{25}{5}$  = 5.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là 5.

Bài tập 8 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 3x + 4y – 10 = 0

Δ′: 6x + 8y – 1 = 0.

Lời giải:

Δ: 3x + 4y – 10 = 0 có $\overrightarrow{n}$  = (3; 4) là vectơ pháp tuyến.

Δ′: 6x + 8y – 1 = 0 có $\overrightarrow{n\text{'}}$  = (6; 8) là vectơ pháp tuyến.

Ta có: $\frac{3}{6}=\frac{4}{8}\left(=\frac{1}{2}\right)$  nên $\overrightarrow{n}$  và $\overrightarrow{n\text{'}}$  cùng phương.

Suy ra Δ và  Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(2; 1) ∈ Δ, thay tọa độ điểm M vào Δ′ ta có:

6.2 + 8.1 – 1 = 0 ⇔ 19 = 0 (vô lý).

⇒ M ∉ Δ′.

Do đó Δ // Δ′.

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là khoảng cách từ điểm M đến Δ′.

⇒ d(Δ, Δ′) = d(M, Δ′) = $\frac{|6.2+8.1-1|}{\sqrt{6^2+8^2}}$ = $\frac{19}{10}$  = 1,9.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ′ là 1,9.

Bài tập 9 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm S(x; y) di động trên đường thẳng d: 12x − 5y + 16 = 0. Tính khoảng cách ngắn nhất từ điểm M(5; 10) đến điểm S.

Lời giải:

Đường thẳng d: 12x − 5y + 16 = 0 có vectơ pháp uyến là $\overrightarrow{n}$  = (12; −5).

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến điểm S chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

Ta có: d(M; d) = $\frac{|12.5-5.10+16|}{\sqrt{{12}^2+{(-5)}^2}}$  = $\frac{26}{13}$  = 2.

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ M đến S là 2.

Bài tập 10 trang 58 Toán lớp 10 Tập 2: Một người đang viết chương trình cho trò chơi bóng đá rô bốt. Gọi A(−1; 1), B(9; 6), C(5; −3) là ba vị trí trên màn hình.

a) Viết phương trình các đường thẳng AB, AC, BC.

b) Tính góc hợp bởi hai đường thẳng AB và AC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (10; 5), $\overrightarrow{AC}$ = (6; −4), $\overrightarrow{BC}$ = (−4; −9).

Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(−1; 1) và nhận  $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_1}$ = (5; −10) là vectơ pháp tuyến là:  

5(x + 1) − 10(y − 1) = 0 ⇔ 5x − 10y + 15 = 0 ⇔ x − 2y + 3 = 0.

Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(−1; 1) và nhận  $\overrightarrow{AC}$ làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_2}$ = (4; 6) là vectơ pháp tuyến là: 

4(x + 1) + 6(y − 1) = 0 ⇔ 4x + 6y – 2 = 0 ⇔ 2x + 3y – 1 = 0.

Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm B(9; 6) và nhận $\overrightarrow{BC}$  làm vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n_3}$ = (9; −4) là vectơ pháp tuyến là: 

9(x − 9) − 4(y − 6) = 0 ⇔ 9x − 4y – 57 = 0.

Vậy phương trình của các đường thẳng AB, AC, BC lần lượt là: 10x − 2y + 3 = 0; 2x + 3y – 1 = 0; 9x − 4y – 57 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AC}$ = 10.6 + 5.(−4) = 40;

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC là $\frac{70}{\sqrt{97}}$ .

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 10 trang 46 Tập 2

Giải Toán 10 trang 47 Tập 2

Giải Toán 10 trang 48 Tập 2

Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

Giải Toán 10 trang 53 Tập 2

Giải Toán 10 trang 54 Tập 2

Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

Giải Toán 10 trang 57 Tập 2

Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố