Giải Toán 7 Bài 6 (Cánh diều): Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Giải bài tập Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

A. Câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 88 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 88 Toán 7 Tập 2: Có ba trạm quan sát A, B, C trong đó trạm quan sát C ở giữa hồ.

Người ta muốn đo khoảng cách từ A và từ B đến C. Do không thể đo trực tiếp được các khoảng cách trên nên người ta làm như sau (Hình 55):

- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;

- Kẻ tia Ax sao cho $\widehat{BAx}=60°$, kẻ tia By sao cho $\widehat{ABy}=45°$, xác định giao điểm D của hai tia đó;

- Đo khoảng cách AD và BD. Ta có AC = AD và BC = BD.

Tại sao lại có hai đẳng thức trên?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Bài toán được mô tả bởi hai tam giác ABC và tam giác ABD như Hình 55.

Chứng minh (Hình 55):

Xét $∆$ABC và $∆$ABD có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DAB}\left(=60°\right)$ (giả thiết),

AB chung,

$\widehat{ABC}=\widehat{ABD}\left(=45°\right)$ (giả thiết)

Suy ra $∆$ABC = $∆$ABD (g.c.g)

Do đó AC = AD và BC = BD (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy AC = AD và BC = BD.

Hoạt động 1 trang 88 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC (Hình 56).

Những góc nào của tam giác ABC có cạnh thuộc đường thẳng AB?

Trong tam giác ABC (Hình 56), ta gọi góc A và góc B là hai góc kề cạnh AB. Tương tự, góc B và góc C là hai góc kề cạnh BC, góc C và góc A là hai góc kề cạnh CA.

Lời giải:

Ta có $\widehat{BAC}$ gồm hai cạnh lần lượt thuộc hai đường thẳng AB và AC;

$\widehat{ABC}$ gồm hai cạnh lần lượt thuộc hai đường thẳng AB và BC.

Vậy, những góc của tam giác ABC có cạnh thuộc đường thẳng AB là: $\widehat{BAC}$ và $\widehat{ABC}$

Hoạt động 2 trang 88 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' (Hình 57) có: $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=60°,$ AB = A'B' = 3 cm, $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}=45°$.

Bằng cách đếm số ô vuông, hãy so sánh BC và B'C'. Từ đó có thể kết luận được hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau hay không?

Lời giải:

Dựa vào hình trên, bằng cách đếm số ô vuông, ta thấy:

+) Cạnh BC là đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 độ dài cạnh ô vuông;

+) Cạnh B'C' là đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 độ dài cạnh ô vuông;

Do đó BC = B'C'.

Xét $∆$ABC và $∆$A'B'C' có:

AB = A'B' (= 3cm).

$\widehat{ABC}=\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=45°\right)$.

BC = B'C' (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ABC = $∆$A'B'C' (c.g.c)

Vậy $∆$ABC = $∆$A'B'C'.

Giải Toán 7 trang 89 Tập 2

Luyện tập 1 trang 89 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' thỏa mãn: BC = B'C' = 3 cm, $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}=60°$, $\widehat{C}=50°$, $\widehat{A^{\text{'}}}=70°$. Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Xét tam giác A'B'C' có: $\widehat{A^{\text{'}}}+\widehat{B^{\text{'}}}+\widehat{C^{\text{'}}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{C^{\text{'}}}=180°-\widehat{A^{\text{'}}}-\widehat{B^{\text{'}}}=180°-70°-60°=50°$.

Xét $∆$ABC và $∆$A'B'C' có:

$\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}\left(=60°\right)$.

BC = B'C' (theo giả thiết).

$\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}\left(=50°\right)$.

Suy ra $∆$ABC = $∆$A'B'C' (g.c.g)

Vậy $∆$ABC = $∆$A'B'C'.

Luyện tập 2 trang 89 Toán 7 Tập 2: Giải thích bài toán ở phần mở đầu.

Lời giải:

Bài toán được mô tả bởi hai tam giác ABC và tam giác ABD như Hình 55.

Chứng minh (Hình 55):

Xét $∆$ABC và $∆$ABD có:

$\widehat{BAC}=\widehat{DAB}\left(=60°\right)$ (giả thiết),

AB chung,

$\widehat{ABC}=\widehat{ABD}\left(=45°\right)$ (giả thiết)

Suy ra $∆$ABC = $∆$ABD (g.c.g)

Do đó AC = AD và BC = BD (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy AC = AD và BC = BD.

B. Bài tập

Giải Toán 7 trang 91 Tập 2

Bài 1 trang 91 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' thỏa mãn: AB = A'B', $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$, $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$. Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Xét tam giác ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{B}=180°-\widehat{A}-\widehat{C}$.

Xét tam giác A'B'C' có: $\widehat{A^{\text{'}}}+\widehat{B^{\text{'}}}+\widehat{C^{\text{'}}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{B^{\text{'}}}=180°-\widehat{A^{\text{'}}}-\widehat{C^{\text{'}}}$.

Mà $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$, $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$(giả thiết) nên $\widehat{\text{}B}=\widehat{B^{\text{'}}}$.

Xét $∆$ABC và $∆$A'B'C' có:

$\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$ (giả thiết),

AB = A’B’ (giả thiết),

$\widehat{\text{}B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (giả thiết).

Suy ra $∆$ABC = $∆$A'B'C' (g.c.g).

Vậy $∆$ABC = $∆$A'B'C'.

Bài 2 trang 91 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 65 có AM = BN, $\widehat{A}=\widehat{B}$.

Chứng minh: OA = OB, OM = ON.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 65):

Xét $∆$AMO có: $\widehat{AMO}+\widehat{A}+\widehat{AOM}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{AMO}=180°-\widehat{A}-\widehat{AOM}$. (1)

Xét $∆$BNO có: $\widehat{BNO}+\widehat{B}+\widehat{BON}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{BNO}=180°-\widehat{B}-\widehat{BON}$. (2)

Mà $\widehat{A}=\widehat{B}$ (theo giả thiết), $\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat{AMO}=\widehat{BNO}$.

Xét $∆$AMO và $∆$BNO có:

$\widehat{A}=\widehat{B}$ (giả thiết).

AM = BN (giả thiết).

$\widehat{AMO}=\widehat{BNO}$ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$AMO và $∆$BNO (g.c.g).

Do đó OA = OB và OM = ON (các cặp cạnh tương ứng).

Giải Toán 7 trang 92 Tập 2

Bài 3 trang 92 Toán 7 Tập 2:

Cho Hình 66 có $\widehat{N}=\widehat{P}=90°,\widehat{PMQ}=\widehat{NQM}.$ Chứng minh MN = QP, MP = QN.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 66):

Tam giác MNQ có $\widehat{N}=90°$ (giả thiết) nên tam giác MNQ vuông tại N.

Tam giác QPM có $\widehat{P}=90°$ (giả thiết) nên tam giác MPQ vuông tại P.

Xét $∆$MNQ (vuông tại N) và $∆$MPQ (vuông tại P) có:

$\widehat{NQM}=\widehat{PMQ}$ (giả thiết).

MQ chung.

Suy ra $∆$MNQ = $∆$QPM (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó MN = QP và MP = QN (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy MN = QP và MP = QN.

Bài 4 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 67 có $\widehat{AH\text{D}}=\widehat{BKC}=90°,$ DH = CK, $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}.$ Chứng minh AD = BC.

Lời giải:

Chứng minh (Hình 67):

Xét tam giác AHD có: $\widehat{DAB}$ là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác nên $\widehat{DAB}=\widehat{AHD}+\widehat{A\text{D}H}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Hay $\widehat{DAB}=90°+\widehat{A\text{D}H}$.

Xét tam giác BKC có: $\widehat{CBA}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác nên $\widehat{CBA}=\widehat{BKC}+\widehat{BCK}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Hay $\widehat{CBA}=90°+\widehat{BCK}$.

Mà $\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$ (giả thiết) nên $\widehat{A\text{D}H}=\widehat{BCK}$.

Tam giác AHD có $\widehat{AHD}=90°$ nên là tam giác vuông tại H.

Tam giác BKC có $\widehat{BKC}=90°$ nên là tam giác vuông tại K.

Xét $∆$AHD (vuông tại H) và $∆$BKC (vuông tại K) có:

DH = CK (giả thiết),

$\widehat{A\text{D}H}=\widehat{BCK}$ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$AHD = $∆$BKC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Do đó AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Vậy AD = BC.

Bài 5 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}>\widehat{C}.$ Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D.

a) Chứng minh $\widehat{A\text{D}B}<\widehat{A\text{D}C}$.

b) Kẻ tia Dx nằm trong góc ADC sao cho $\widehat{A\text{Dx}}=\widehat{A\text{D}B}$. Giả sử tia Dx cắt cạnh AC tại điểm E. Chứng minh: $∆$ABD = $∆$AED, AB < AC.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Xét tam giác ABD có: $\widehat{A\text{DC}}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên $\widehat{A\text{D}C}=\widehat{BAD}+\widehat{B}$.

Xét tam giác ABD có: $\widehat{A\text{D}C}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên $\widehat{ADB}=\widehat{CAD}+\widehat{C}$.

Mà AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (giả thiết) nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Lại có $\widehat{B}>\widehat{C}$ (giả thiết) nên $\widehat{BAD}+\widehat{B}>\widehat{CAD}+\widehat{\text{C}}$ hay $\widehat{A\text{D}C}>\widehat{A\text{D}B}$.

Vậy $\widehat{A\text{D}B}<\widehat{A\text{D}C}$

b) Xét $∆$ABD và $∆$AED có:

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (chứng minh trên),

AD chung,

$\widehat{A\text{D}B}=\widehat{A\text{D}E}$ (giả thiết).

Suy ra $∆$ABD = $∆$AED (g.c.g).

Vậy $∆$ABD = $∆$AED.

* Chứng minh AB < AC:

Cách 1:

Vì $∆$ABD = $∆$AED (chứng minh trên) nên AB = AE (hai cạnh tương ứng)

Mà AE < AC (do điểm E nằm trên cạnh AC)

Nên AB < AC.

Vậy AB < AC.

Cách 2: Xét tam giác ABC có $\widehat{B}>\widehat{C}$ (giả thiết)

Mà cạnh AB đối diện với góc C, cạnh AC đối diện với góc C

Do đó AC > AB.

Vậy AB < AC.

Bài 6 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho $∆$ABC = $∆$MNP. Tia phân giác của góc BAC và NMP lần lượt cắt các cạnh BC và NP tại D, Q. Chứng minh AD = MQ.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Vì $∆$ABC = $∆$MNP (giả thiết) nên:

+) $\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$ và $\widehat{B}=\widehat{N}$ (các cặp góc tương ứng);

+) AB = MN (hai cạnh tương ứng).

Ta có:

+) AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (giả thiết) nên $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

+) MQ là tia phân giác của $\widehat{NMP}$ (giả thiết) nên $\widehat{NMQ}=\frac{1}{2}\widehat{NMP}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Mà $\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{BAD}=\widehat{NMQ}$.

Xét $∆$ABD và $∆$MNQ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{NMQ}$ (chứng minh trên),

AB = MN (chứng minh trên),

$\widehat{B}=\widehat{N}$ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ABD = $∆$MNQ (g.c.g).

Do đó AD = MQ (hai cạnh tương ứng).

Vậy AD = MQ.

Lý thuyết Toán 7 Bài 6. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc - Cánh diều

1. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

– Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}$, AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}}$ thì DABC = DA’B’C’ (g.c.g).

Ví dụ: Cho tam giác ABC và DEF có $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{E}},\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{D}},$ AB = ED. Biết $\widehat{\mathrm{C}}=42°,$ tính số đo góc F.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{E}}$ (giả thiết),

AB = ED (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{D}}$ (giả thiết),

Do đó DABC = DDEF (g.c.g).

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{F}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\mathrm{C}}=42°$ (giả thiết), do đó $\widehat{\mathrm{F}}=42°.$

Vậy $\widehat{\mathrm{F}}=42°.$

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

Chứng minh DAOB = DCOD.

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{D}}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên AB // CD (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{C}}$ (hai góc so le trong).

Xét DABO và DCDO có:

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{C}}$ (chứng minh trên),

AB = CD (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{D}}$ (giả thiết),

Do đó DAOB = DCOD (g.c.g).

Vậy DAOB = DCOD.

2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông (hoặc cạnh huyền) và góc nhọn của tam giác vuông

2.1. Trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°$, AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Ví dụ: Cho tam giác ABC có tia phân giác AD của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ (D ∈ BC) và AD ⊥ BC. Chứng minh AB = AC.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

$\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{ADC}}=90°$ (do AD ⊥ BC),

AD là cạnh chung,

$\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{CAD}}$ (do AD là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$),

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy AB = AC.

2.2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°$, BC = B’C’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Gọi I là một điểm trên tia Oz (I khác O). Kẻ IM vuông góc với Ox (M ∈ Ox), IN vuông góc với Oy (N ∈ Oy). Biết độ dài đoạn thẳng IM là 2 cm, tính độ dài đoạn thẳng IN?

Hướng dẫn giải

Xét DOIM và DOIN có:

$\widehat{\mathrm{OMI}}=\widehat{\mathrm{ONI}}=90°,$

$\widehat{\mathrm{IOM}}=\widehat{\mathrm{ION}}$ (do Oz là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}$),

OI là cạnh chung,

Do đó DOMI = DONI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Mà IM = 2 cm (giả thiết)

Nên IN = 2 cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng IN là 2 cm.

– Nhận xét: Độ dài các đoạn thẳng IM, IN gọi là khoảng cách từ điểm I lần lượt đến hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Như vậy ta có thể nói: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: Cho góc xOy nhọn. Gọi A là một điểm nằm trong góc xOy. Kẻ AB vuông góc với Ox (B ∈ Ox), AC vuông góc với Oy (C ∈ Oy). Biết AB = AC. Chứng minh rằng điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Xét DOAB và DOAC có:

$\widehat{\mathrm{OBA}}=\widehat{\mathrm{OCA}}=90°,$

AB = AC (giả thiết),

OA là cạnh chung.

Do đó DABO = DACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BOA}}=\widehat{\mathrm{AOC}}$ (hai góc tương ứng).

Do đó OA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}.$

Nên A là điểm thuộc tia phân giác của góc xOy.

Vậy điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Nếu một điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

3. Vẽ tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 5 cm, $\widehat{\mathrm{A}}=60°,\widehat{\mathrm{B}}=70°$ bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm

– Bước 2: Vẽ các tia Ax, By sao cho $\widehat{\mathrm{BAx}}=60°,\widehat{\mathrm{ABy}}=70°$

– Bước 3: Vẽ C là điểm chung của hai tia Ax và By. Ta nhận được tam giác ABC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 7: Tam giác cân

Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác