Giải Toán 7 Bài 12 (Cánh diều): Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Giải bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

A. Câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 112 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 112 Toán 7 Tập 2: Hình 121 minh họa biển giới thiệu quần thể di tích, danh thắng cấp Quốc gia núi Dũng Quyết và khu vực Phượng Hoàng Trung Đô ở tỉnh Nghệ An (Hình 120).

Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ba địa điểm được minh họa trên tạo thành ba đỉnh của một tam giác (Hình 121).

Khi đó vị trí cách đều ba địa điểm đó là giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba địa điểm trên.

Hoạt động 1 trang 112 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC như Hình 122. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

Đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng BC nên đường thẳng d vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Ta có hình vẽ sau:

Giải Toán 7 trang 113 Tập 2

Luyện tập 1 trang 113 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung trực của tam giác ABC.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.

Vì AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ (giả thiết) nên $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $∆$ABD và $∆$ACD có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{BA\text{D}}=\widehat{CA\text{D}}$ (chứng minh trên),

AD là cạnh chung.

Do đó $∆$ABD = $∆$ACD (c.g.c).

Suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{A\text{DB}}=\widehat{A\text{D}C}$ (hai góc tương ứng).

+) Vì BD = CD mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC. (1)

+) Vì $\widehat{A\text{DB}}=\widehat{A\text{D}C}$ và $\widehat{A\text{DB}}+\widehat{A\text{D}C}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Nên $\widehat{A\text{DB}}=\widehat{A\text{D}C}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó AD $\perp$ BC. (2)

Từ (1) và (2) ta có AD vuông góc với BC tại trung điểm D của BC.

Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hoạt động 2 trang 113 Toán 7 Tập 2: Quan sát các đường trung trực của tam giác ABC (Hình 126), cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Lời giải:

Quan sát Hình 126 ta thấy các đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm O.

Giải Toán 7 trang 114 Tập 2

Luyện tập 2 trang 114 Toán 7 Tập 2:

Trong Hình 127, điểm O có phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC không?

Lời giải:

Trong Hình 127 ta thấy đường thẳng qua O và cắt AB nhưng không vuông góc với AB do đó đường thẳng này không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Tương tự đường thẳng qua O và cắt AC không vuông góc với AB nên không phải là đường trùng trực của đoạn thẳng AC.

Vậy O không phải giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Hoạt động 3 trang 114 Toán 7 Tập 2: Quan sát giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC (Hình 128) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng OA, OB, OC.

Lời giải:

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên:

+) O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB

Suy ra OA = OB (tính chất đường trung trực)

+) O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC

Suy ra OB = OC (tính chất đường trung trực)

Do đó OA = OB = OC.

B. Bài tập

Giải Toán 7 trang 115 Tập 2

Bài 1 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Vì OA = OB (giả thiết) nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vì OA = OC (giả thiết) nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC nên O là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC.

Mà ba đường trung trực của tam giác luôn cùng đi qua một điểm.

Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC

Bài 2 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Lời giải:

Vì điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC nên điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Ta có hình vẽ sau:

b) Ta có hình vẽ sau:

c) Ta có hình vẽ sau:

Bài 3 trang 115 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Vì G là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường trung tuyến (giả thiết)

Nên ba đường trung tuyến cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.

Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó AM $\perp$ BC tại trung điểm M của BC;

BN $\perp$ AC tại trung điểm N của AC;

CP $\perp$ AB tại trung điểm P của AB;

+) Xét tam giác ABM (vuông tại M) và tam giác ACM (vuông tại M) có:

MB = MC (M là trung điểm của BC),

AM là cạnh chung

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)

+) Xét tam giác BAN (vuông tại N) và tam giác BCN (vuông tại N) có:

NA = NC (N là trung điểm của AC),

BN là cạnh chung

Do đó $∆$BAN = $∆$BCN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BA = BC (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC

Do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 4 trang 115 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Vì I là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường phân giác (giả thiết)

Nên ba đường phân giác cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.

Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó AM $\perp$BC tại trung điểm M của BC và AM là đường phân giác của $\widehat{BAC};$

BN $\perp$ AC tại trung điểm N của AC và BN là đường phân giác của $\widehat{ABC};$

CP $\perp$ AB tại trung điểm P của AB và CP là đường phân giác của $\widehat{ACB};$

+) Xét $∆$ABM (vuông tại M) và DACM (vuông tại M) có:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$),

AM là cạnh chung,

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)

+) Xét $∆$ABN (vuông tại N) và $∆$CBN (vuông tại N) có:

$\widehat{BAN}=\widehat{CBN}$ (do BN là đường phân giác của $\widehat{ABC}$),

BN là cạnh chung,

Do đó $∆$ABN = $∆$CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = CB (hai cạnh tương ứng) (1)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = AC

Do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Bài 5 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác. M là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) OM $\perp$ BC;

b) $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$.

Lời giải:

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Do ba đường trung trực trong tam giác đồng quy tại một điểm mà tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC (giả thiết).

Do đó đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua O.

Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OM $\perp$ BC.

Vậy OM $\perp$ BC.

b) Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên OB = OC (tính chất đường trung trực)

Xét $∆$OMB và $∆$OMC có:

OM là cạnh chung,

MB = MC (M là trung điểm của BC),

OB = OC (chứng minh trên)

Do đó $∆$OMB = $∆$OMC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$.

Lý thuyết Toán 7 Bài 12. Tính chất ba đường trung trực của tam giác - Cánh diều

1. Đường trung trực của tam giác

– Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Chú ý: Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ và chỉ ra các đường trung trực của tam giác (nếu có):

Hướng dẫn giải

Đường thẳng a vuông góc với AC tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng a là trung trực của ∆ABC.

Đường thẳng b đi trung điểm của BC nhưng không vuông góc với BC tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng b không là đường trung trực của ∆ABC.

Đường thẳng c ⊥ AB nhưng không vuông góc tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng c không là đường trung trực của ∆ABC.

– Nhận xét: Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Do đó, trong một tam giác ba đường trung trực cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Ví dụ: Cho ∆ABC có ba đường trung trực của AB, BC, AC cắt nhau tại O, tương ứng cắt AB, BC, CA lần lượt tại H, K, E. Chứng minh rằng: BK < OA < OC + BC.

Hướng dẫn giải

Vì O là giao điểm của ba đường trung trực trong ∆ABC nên OA = OB = OC.

Xét ∆OBK vuông tại K nên OB > BK (vì trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất). (1)

∆OBC có OB < OC + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà OA = OB

Do đó OA < OC + BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BK < OA < OC + BC

Vậy BK < OA < OC + BC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 3: Dung tích phổi

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ