Giải Toán 7 Bài 4 (Cánh diều): Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh

Giải bài tập Toán 7 Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh

A. Câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 80 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 80 Toán 7 Tập 2: Giá để đồ ở Hình 33 gợi nên hình ảnh hai tam giác ABC và A'B'C' có: AB = A'B'; BC = B'C'; CA = C'A'.

Tam giác ABC có bằng tam giác A'B'C' hay không?

Lời giải

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Xét tam giác ABC và tam giác A'B'C' có:

AB = A'B'; BC = B'C'; CA = C'A' (giả thiết)

Suy ra ∆ABC = ∆A'B'C' (c.c.c)

Vậy ∆ABC = ∆A'B'C'.

Hoạt động 1 trang 80 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A'B'C' (Hình 34) có: AB = A'B' = 2 cm, AC = A'C' = 3 cm, BC = B'C' = 4 cm.

Hãy sử dụng thước đo góc để kiểm nghiệm rằng: $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}};$ $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}};$ $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.$

Lời giải

Dùng thước đo góc ta đo được:

+ Trong tam giác ABC: $\widehat{A}\approx 104°,$$\widehat{B}\approx 47°,\widehat{C}\approx 29°$

+ Trong tam giác A'B'C': $\widehat{A^{\text{'}}}\approx 104°,$$\widehat{B^{\text{'}}}\approx 47°,\widehat{C^{\text{'}}}\approx 29°$

Vậy $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}};$ $\widehat{B}=\widehat{B^{\text{'}}};$ $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.$

Giải Toán 7 trang 81 Tập 2

Luyện tập 1 trang 81 Toán 7 Tập 2: Hai tam giác ở Hình 37 có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải

Chứng minh (Hình 37):

Xét tam giác ABC và tam giác ABD có:

AB là cạnh chung; AC = AD; BC = BD

Suy ra ∆ABC = ∆ABD (c.c.c)

Vậy ∆ABC = ∆ABD.

Giải Toán 7 trang 82 Tập 2

Hoạt động 2 trang 82 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có: $\widehat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=90°,$ AB = A'B' = 3 cm, BC = B'C' = 5 cm (Hình 39). So sánh độ dài các cạnh AC và A'C'.

Lời giải

Giả sử cạnh hình vuông nhỏ trong hình vẽ có độ dài bằng a (cm).

Quan sát hình vẽ ta thấy: Cạnh AB và cạnh A'B' có độ dài bằng 3 lần độ dài của cạnh hình vuông.

Mà AB = A'B' = 3 cm nên 3a = 3 suy ra a = 1 (cm)

Lại có AC = 4a = 4.1 = 4 (cm) và A'C' = 4a = 4.1 = 4 (cm)

Do đó AC = A'C' (= 4cm)

Vậy AC = A'C'.

B. Bài tập

Giải Toán 7 trang 83 Tập 2

Bài 1 trang 83 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 42 có MN = QN, MP = QP. Chứng minh rằng $\widehat{MNP}=\widehat{QNP}.$

Lời giải

Chứng minh (Hình 42):

Xét tam giác MNP và tam giác QNP có:

MN = QN (giả thiết); MP = QP (giả thiết); NP là cạnh chung.

Suy ra $∆$MNP = $∆$QNP (c.c.c)

Do đó $\widehat{MNP}=\widehat{QNP}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $\widehat{MNP}=\widehat{QNP}$

Bài 2 trang 83 Toán 7 Tập 2:

Cho Hình 43 có AB = AD, $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90°.$ Chứng minh $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}.$

Lời giải

Chứng minh (Hình 43):

Vì $∆$ABC có $\widehat{ABC}=90°$ (giả thiết) nên $∆$ABC vuông tại B.

Vì ∆ADC có $\widehat{ADC}=90°$ (giả thiết) nên ∆ADC vuông tại D.

Xét hai tam giác ABC (vuông tại B) và tam giác ADC (vuông tại D) có:

AC là cạnh chung

AB = AD (giả thiết)

Suy ra $∆$ABC = ∆ADC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}$

Bài 3 trang 83 Toán 7 Tập 2:

Cho Hình 44 có AC = BD, $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90°.$ Chứng minh AD = BC.

Lời giải

Chứng minh (Hình 44):

Vì $\widehat{ABC}=\widehat{BAD}=90°$ nên $∆$ABC vuông tại B và $∆$ABD vuông tại A.

Xét tam giác ABC (vuông tại B) và tam giác BAD (vuông tại A) có:

AB là cạnh chung

AC = BD (giả thiết)

Suy ra $∆$ABC = $∆$BAD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó BC = AD (hai cạnh tương ứng)

Vậy BC = AD.

Bài 4 trang 83 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP thoả mãn: AB = MN, BC = NP, AC = MP, $\widehat{A}=65°,\widehat{N}=71°.$ Tính số đo các góc còn lại của hai tam giác.

Lời giải

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

AB = MN (giả thiết)

BC = NP (giả thiết)

AC = MP (giả thiết)

Suy ra ∆ABC = ∆MNP (c.c.c)

Nên $\widehat{A}=\widehat{M},\widehat{B}=\widehat{N},\widehat{C}=\widehat{P}$ (các cặp góc tương ứng)

Mà $\widehat{A}=65°,\widehat{N}=71°$ (giả thiết)

Do đó $\widehat{M}=65°,\widehat{B}=71°$

Xét tam giác ABC với $\widehat{A}=65°,$$\widehat{B}=71°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$

Hay $\widehat{C}=180°-65°-71°=44°$

Suy ra $\widehat{P}=44°$

Vậy $\widehat{M}=65°,\widehat{B}=71°,\widehat{C}=44°$và $\widehat{P}=44°.$

Lý thuyết Toán 7 Bài 4. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh - Cánh diều

1. Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

– Tính chất: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ thì DABC = DA’B’C’ (c.c.c).

Ví dụ: Cho hai tam giác HIK và DEG thỏa mãn HI = DE, IK = EG, HK = DG.

a) Chứng minh DHIK = DDEG.

b) Biết $\widehat{\mathrm{H}}=60°,\widehat{\mathrm{G}}=55°.$ Tính số đo góc D và góc I.

Hướng dẫn giải

a) Xét DHIK và DDEG có:

HI = DE (giả thiết),

IK = EG (giả thiết),

HK = DG (giả thiết),

Suy ra DHIK = DDEG (c.c.c).

Vậy DHIK = DDEG.

b) Vì DHIK = DDEG (theo câu a)

Suy ra $\widehat{\mathrm{H}}=\widehat{\text{D}},\widehat{\mathrm{I}}=\widehat{\mathrm{E}}$ (các cặp góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{H}}=60°$ nên $\widehat{\mathrm{D}}=60°.$

Xét DDEG có: $\widehat{\mathrm{E}}+\widehat{\text{D}}+\widehat{\mathrm{G}}=180°$(tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó $\widehat{\mathrm{E}}=180°-\widehat{\text{D}}-\widehat{\mathrm{G}}$

Mà $\widehat{\mathrm{D}}=60°,\widehat{\mathrm{G}}=55°.$

Suy ra $\widehat{\mathrm{E}}=180°-60°-55°=65°.$

Lại có $\widehat{\mathrm{I}}=\widehat{\mathrm{E}}$ (chứng minh trên).

Nên $\widehat{\mathrm{I}}=65°.$

Vậy $\widehat{\mathrm{D}}=60°,\widehat{\mathrm{I}}=65°.$

Ví dụ: Cho $\widehat{\mathrm{xOy}},$ trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Vẽ các cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau ở điểm I nằm trong góc xOy. Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Vì các cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính cắt nhau ở điểm I nằm trong góc xOy (giả thiết) nên ta có AI = BI

Xét tam giác OAI và tam giác OBI có:

OA = OB (giả thiết),

AI = BI (chứng minh trên),

OI là cạnh chung.

Suy ra DOAI = DOBI (c.c.c).

Do đó $\widehat{\mathrm{AOI}}=\widehat{\mathrm{BOI}}$ (hai góc tương ứng)

Nên tia OI là tia phân giác của góc xOy.

Vậy tia OI là tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Cách vẽ tia phân giác của một góc đã được chứng minh cụ thể như trên.

2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ có $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=90°,$ BC = B’C’, AB = A’B’ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

a) Chứng minh $\widehat{\mathrm{ENM}}=\widehat{\mathrm{HMN}}.$

b) Biết $\widehat{\mathrm{EMN}}=60°.$ Chứng minh MH là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{EMN}}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét DEMN và DHNM có:

$\widehat{\mathrm{MEN}}=\widehat{\mathrm{NHM}}=90°,$

ME = HN (giả thiết),

MN là cạnh chung,

Suy ra DEMN = DHNM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $\widehat{\mathrm{ENM}}=\widehat{\mathrm{HMN}}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{\mathrm{ENM}}=\widehat{\mathrm{HMN}}.$

b) Xét DEMN vuông tại E có: $\widehat{\mathrm{EMN}}+\widehat{\mathrm{ENM}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Suy ra $\widehat{\mathrm{ENM}}=90°-\widehat{\mathrm{EMN}}=90°-60°=30°.$

Mà $\widehat{\mathrm{ENM}}=\widehat{\mathrm{HMN}}$ (chứng minh trên)

Do đó $\widehat{\mathrm{HMN}}=30°.$

Mặt khác $\widehat{\mathrm{EMH}}$ và $\widehat{\mathrm{HMN}}$ là hai góc kề nhau nên ta có:

$\widehat{\mathrm{EMH}}+\widehat{\mathrm{HMN}}=\widehat{\mathrm{EMN}}$

Suy ra $\widehat{\mathrm{EMH}}=\widehat{\mathrm{EMN}}-\widehat{\mathrm{HMN}}=60°-30°=30°.$

Do đó $\widehat{\mathrm{EMH}}=\widehat{\mathrm{HMN}}$

Suy ra MH là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{EMN}}.$

Vậy MH là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{EMN}}.$

3. Vẽ tam giác khi biết ba cạnh

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AC = 5 cm

– Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 3 cm và một phần đương tròn tâm C bán kính 7 cm, B là điểm chung của hai phần đường tròn đó

– Bước 3: Vẽ các đoạn thẳng AB, BC. Ta được tam giác ABC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Bài 7: Tam giác cân

Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng