Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên | Cánh diều Giải Toán lớp 7

Giải bài tập Toán 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

A. Câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 97 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 97 Toán 7 Tập 2: Cầu Bãi Cháy nối Hòn Gai và Bãi Cháy (Quảng Ninh). Trụ cầu và dây cáp của cầu gợi nên hình ảnh đường vuông góc và đường xiên.

Đường vuông góc và đường xiên có tính chất như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Do đó đường xiên có độ dài lớn hơn đường vuông góc.

Luyện tập 1 trang 97 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC bằng độ dài đoạn thẳng nào?

b) Đoạn thẳng nào là một đường xiên kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC?

Lời giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB $\perp$ AC tại A.

Do đó BA là đường vuông góc kẻ từ B đến AC.

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC bằng độ dài đoạn thẳng BA.

b) Đoạn thẳng BC là một đường xiên kẻ từ B đến đường thẳng AC.

Giải Toán 7 trang 98 Tập 2

Hoạt động trang 98 Toán 7 Tập 2: Giả sử AH, AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d (Hình 80).

Trong tam giác AHB, hãy so sánh:

a) Số đo góc AHB và số đo góc ABH.

b) Độ dài cạnh AB và độ dài cạnh AH.

Lời giải:

a) Vì AH là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d nên tam giác ABH vuông tại H.

Tam giác AHB vuông tại H có $\widehat{AHB}=90°$ nên $\widehat{ABH}$ là góc nhọn của tam giác.

Do đó $\widehat{AHB}>\widehat{ABH}$.

b) Xét tam giác ABH có: $\widehat{AHB}>\widehat{ABH}$ (chứng minh trên)

Mà cạnh AB đối diện với góc AHB và cạnh AH đối diện với góc ABH

Do đó độ dài cạnh AB lớn hơn độ dài cạnh AH.

Vậy AB > AH.

Luyện tập 2 trang 98 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC, $\widehat{B}>\widehat{C}$. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.

Lời giải:

Vì H là hình chiếu của A trên BC (giả thiết) nên AH $\perp$ BC, AH là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC.

Khi đó AB và AC là các đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng BC.

Do đó AH là đoạn ngắn nhất trong ba đoạn thẳng AH, AB và AC. (1)

Tam giác ABC có $\widehat{B}>\widehat{C}$ (giả thiết)

Mà cạnh AC đối diện với góc B, cạnh AB đối diện với góc C

Nên AC > AB. (2)

Từ (1) và (2) ta có AC > AB > AH hay AH < AB < AC.

Vậy thứ tự độ tăng dần các đoạn thẳng AB, AH, AC là AH; AB; AC.

B. Bài tập

Giải Toán 7 trang 99 Tập 2

Bài 1 trang 99 Toán 7 Tập 2: Chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ điểm I trong Hình 83a và từ điểm C trong Hình 83b.

Lời giải:

+) Hình 83a:

• Đường vuông góc kẻ từ điểm I đến đường thẳng d là IH.

• Các đường xiên kẻ từ điểm I đến đường thẳng d là IM và IN.

+) Hình 83b:

• Đường vuông góc kẻ từ C đến đường thẳng Ox là CA.

Đường xiên kẻ từ C đến đường thẳng Ox là CO.

• Đường vuông góc kẻ từ C đến đường thẳng Oy là CB.

Đường xiên kẻ từ C đến đường thẳng Oy là CO.

Bài 2 trang 99 Toán 7 Tập 2: Quan sát Hình 84 và cho biết:

a) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a;

b) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng b;

c) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng c.

Lời giải:

Quan sát Hình 84 ta thấy:

a) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng 1 cm.

b) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng b bằng 2 cm.

c) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng c bằng 3 cm.

Bài 3 trang 99 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC.

a) Vẽ H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC.

b) Vẽ K là hình chiếu của H trên đường thẳng AB.

c) Chứng minh rằng: HK < BH < BC.

Lời giải:

a) H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC nên BH là đường vuông góc kẻ từ B đến đường thẳng AC.

Ta có hình vẽ sau:

b) Vì K là hình chiếu của H trên đường thẳng AB nên HK là đường vuông góc kẻ từ H đến đường thẳng AB.

Ta có hình vẽ sau:

c) Vì HK là đường vuông góc kẻ từ H đến đường thẳng AB; HB là đường xiên kẻ từ B đến đường thẳng AB.

Do đó HK < HB. (1)

Vì BH là đường vuông góc kẻ từ B đến đường thẳng AC; BC là đường xiên kẻ từ B đến đường thẳng AC.

Do đó BH < BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra HK < BH < BC.

Bài 4 trang 99 Toán 7 Tập 2: Trong một thí nghiệm khoa học, bạn Duy đặt hai chiếc đũa thủy tinh, một chiếc dài 14 cm và một chiếc dài 30 cm vào một bình thủy tinh có dạng hình trụ đựng dung dịch, cả hai đũa đều chạm đáy bình. Đường kính của đáy bình là 12 cm, chiều cao của dung dịch trong bình là 15 cm (bỏ qua bề dày của bình). Hỏi bạn Duy có thể cầm vào chiếc đũa thủy tinh nào mà ngón tay không bị chạm vào dung dịch? Vì sao?

Lời giải:

Ta có 12 cm < 14 cm < 30 cm nên hai chiếc đũa lần lượt tạo với đường kính đáy và đường vuông góc với đường kính đáy một tam giác vuông tại H.

Khi đó để Duy có thể cầm vào chiếc đũa thủy tinh mà ngón tay không bị chạm vào dung dịch thì chiếc đũa phải có độ dài lớn hơn 15 cm.

Mà 14 cm < 15 cm < 30 cm

Do đó khi Duy cầm vào chiếc đũa thủy tinh dài 30 cm thì ngón tay không bị chạm vào dung dịch.

Bài 5 trang 99 Toán 7 Tập 2: Hình 85b mô tả mặt cắt đứng của một chiếc thang chữ A (Hình 85a), trong đó độ dài của một bên thang được tính bằng độ dài đoạn thẳng OM, chiều cao của chiếc thang được tính bằng độ dài đoạn OH, với H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng d. Một người sử dụng thang này có thể đứng ở độ cao 4 m hay không nếu độ dài của một bên thang là 3,5 m? Vì sao?

Lời giải:

Vì H là hình chiếu của O trên đường thẳng d nên OH là đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng d.

Khi đó OM là đường xiên kẻ từ O đến đường thẳng d.

Suy ra OH < OM

Mà OM = 3,5 cm.

Nên OH < 3,5 cm

Do đó độ cao của chiếc thang trong trường hợp độ dài của thang là 3,5 m luôn nhỏ hơn 3,5 m.

Vậy người đó sử dụng thang này không thể đứng ở độ cao 4 m nếu độ dài của một bên thang là 3,5 m.

Lý thuyết Toán 7 Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên - Cánh diều

1. Đường vuông góc và đường xiên

Trong hình vẽ trên, ta gọi:

– Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;

– Điểm H là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d;

– Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d;

– Đoạn thẳng AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây:

Hãy cho biết:

a) Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d; khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng độ dài đoạn thẳng nào?

b) Đoạn thẳng nào là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d?

Hướng dẫn giải

a) Vì AH vuông góc với đường thẳng d tại H do đó:

Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là điểm H.

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD là AH = 5cm (do BD ≡ d).

b) Các đoạn thẳng AB; AC; AD là các đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

– Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: Qua điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng a và cắt a tại B. Lấy hai điểm A và C nằm trên đường thẳng a và nằm về hai phía so với điểm B sao cho $\widehat{\text{OAB}}=60°$; $\widehat{\text{OCB}}=45°.$ So sánh độ dài các đoạn thẳng OA; OB; OC.

Hướng dẫn giải

Vì OB là đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng a và OA; OC là các đường xiên kẻ từ O đến đường thẳng a nên OB là đoạn thẳng ngắn nhất

Do đó OB < OA; OB < OC (1)

Xét ∆OAC có $\widehat{\text{OAC}}>\widehat{\text{OCA}}$ (vì 60° > 45°)

Suy ra: OC > OA (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OB < OA < OC.

Vậy OB < OA < OC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác