Toán 7 Bài 2 (Cánh diều): Tập hợp R các số thực

Giải bài tập Toán 7 Bài 2: Tập hợp R các số thực

Bài giảng Toán 7 Bài 2: Tập hợp R các số thực

Hoạt động khởi động

Giải Toán 7 trang 38 Tập 1

Khởi động trang 38 Toán lớp 7 Tập 1: Các số hữu tỉ và vô tỉ được gọi chung là số gì?

Lời giải:

Có 1 tập hợp gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ đó là tập số thực, vì vậy bài học hôm nay sẽ tìm hiểu về tập số thực đó.

1. Số thực

Hoạt động 1 trang 38 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Nếu hai ví dụ về số hữu tỉ.

b) Nêu hai ví dụ về số vô tỉ.

Lời giải:

a) Hai ví dụ về số hữu tỉ là: $\frac{-2}{5};0,575$.

b) Hai ví dụ về số vô tỉ là: $\sqrt{5};-\sqrt{15}$.

Hoạt động 2 trang 38 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Nêu biểu diễn thập phân của số hữu tỉ.

b) Nêu biểu diễn thập phân của số vô tỉ.

Lời giải:

a) Các số hữu tỉ được biểu diễn bằng các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

b) Các số vô tỉ được biểu diễn bằng các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

2. Biểu diễn số thực trên trục số

Giải Toán 7 trang 39 Tập 1

Hoạt động 3 trang 39 Toán lớp 7 Tập 1:Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: $\frac{-1}{2}; 1; 1,25; \frac{7}{4}$.

Lời giải:

+) Với số $\frac{-1}{2}$: Ta chia mỗi đoạn thẳng đơn vị ban đầu thành hai phần bằng nhau.

Khi đó, mỗi phần là một đoạn thẳng đơn vị mới.

$\frac{-1}{2}$ là số âm, nên ta biểu diễn số $\frac{-1}{2}$ nằm bên trái số 0 và cách 0 một khoảng bằng một đơn vị mới.

+) Với số 1,25 = $\frac{5}{4}$: Ta chia mỗi đoạn thẳng đơn vị ban đầu thành bốn phần bằng nhau.

Khi đó, mỗi phần là một đoạn thẳng đơn vị mới.

$\frac{5}{4}$ là số dương, nên ta biểu diễn số $\frac{5}{4}$ nằm bên phải số 0 và cách 0 một khoảng bằng năm đơn vị mới.

+) Với số $\frac{7}{4}$: Ta chia mỗi đoạn thẳng đơn vị ban đầu thành bốn phần bằng nhau.

Khi đó, mỗi phần là một đoạn thẳng đơn vị mới.

$\frac{7}{4}$ là số dương, nên ta biểu diễn số $\frac{7}{4}$ nằm bên phải số 0 và cách 0 một khoảng bằng bảy đơn vị mới.

Vậy các số $\frac{-1}{2};1;1,25;\frac{7}{4}$ được biểu diễn trên trục số như sau:

3. Đối số của một số thực

Hoạt động 4 trang 39 Toán lớp 7 Tập 1: Đọc kỹ nội dung sau:

Gọi A là điểm (nằm bên phải điểm gốc 0) biểu diễn số thực $\sqrt{2}$ trên trục số nằm ngang. Gọi B là điểm nằm bên trái điểm gốc 0 sao cho OA = OB (điểm O biểu diễn điểm gốc 0). Khi đó, điểm B biểu diễn một số thực, kí hiệu là $-\sqrt{2}$ (Hình 6).

Hai điểm biểu diễn các số thực $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$ nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0.

Giải Toán 7 trang 40 Tập 1

Luyện tập 1 trang 40 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số đối của mỗi số sau: $\frac{2}{-9};-\mathrm{0,5};-\sqrt{3}$.

Lời giải:

Số đối của $\frac{-2}{9}$ là $\frac{2}{9}$ vì $\frac{-2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ = 0;

Số đối –0,5 là 0,5 vì (–0,5) + 0,5 = 0.

Số đối của $-\sqrt{3}$ là $\sqrt{3}$ vì ($-\sqrt{3}$) + $\sqrt{3}$ = 0.

4. So sánh các số thực

Hoạt động 5 trang 40 Toán lớp 7 Tập 1:

a) So sánh hai số thập phân sau: –0,617 và –0,614.

b) Nêu quy tắc so sánh hai số thập phân hữu hạn.

Lời giải:

a) Vì –0,617 và –0,614 là hai số thập phân âm nên ta đi so sánh hai số đối của chúng.

Số đối của –0,617 là 0,617.

Số đối của –0,614 là 0,614.

Kể từ trái sang phải, chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là chữ số hàng phần nghìn.

Mà 7 > 4 nên 0, 617 > 0,614

Do đó –0,617 < –0,614.

b) Quy tắc so sánh hai số thập phân hữu hạn.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh là hai số thập phân dương thì ta đi so sánh phần nguyên của chúng. Nếu phần nguyên bằng nhau thì ta so sánh đến phần thập phân, bắt đầu từ hàng phần mười, nếu hàng phần mười bằng nhau thì ta so sánh đến hàng phần trăm…đến cùng một hàng nào đó, số thập phân nào có chữ số ở hàng tương ứng lớn hơn thì lớn hơn.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh có một số là số thập phân âm, một số là số thập phân dương thì số thập phân dương luôn lớn hơn số thập phân âm.

- Nếu hai số thập phân hữu hạn a, b đem so sánh là hai số thập phân âm thì ta so sánh hai số đối của chúng với nhau. Số nào có số đối lớn hơn thì nhỏ hơn.

Chú ý: Số thập phân âm luôn nhỏ hơn 0, số thập phân dương luôn lớn hơn 0.

Giải Toán 7 trang 41 Tập 1

Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 7 Tập 1: So sánh hai số thực sau:

a) 1,(375) và $1\frac{3}{8}$;

b) –1,(27) và –1,272.

Lời giải:

a) Ta có: $1\frac{3}{8}=1,375=1,3750$ và 1, (375) = 1, 375375…

Ta thấy kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần chục nghìn.

Vì 3 > 0 nên 1,375375… > 1,3750

Do đó 1,(375) > $1\frac{3}{8}$.

b) Ta có: –1,(27) = –1,2727… và –1,272 = –1,2720.

Ta đi so sánh hai số 1,2727… và 1,2720

Ta thấy kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần chục nghìn.

Vì 7 > 0 nên 1,2727… > 1,2720

Do đó –1,2727… < –1,2720

Hay –1,(27) < –1,272.

Bài tập

Giải Toán 7 trang 42 Tập 1

Bài 1 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Nếu a $\in \mathbb{Z}$ thì a $\in ℝ$.

b) Nếu a $\in \mathbb{Q}$ thì a $\in ℝ$.

c) Nếu a $\in ℝ$ thì a $\in \mathbb{Z}$.

d) Nếu a $\in ℝ$ thì a $\notin \mathbb{Q}$.

Lời giải:

Phát biểu đúng là a và b.

Phát biểu sai là c và d.

Phát biểu c sai vì 2,5 ∈ ℝ nhưng 2,5 ∉ ℤ.

Phát biểu d sai vì $\frac{4}{5}\in ℝ$ và $\frac{4}{5}\in \mathbb{Q}$.

Bài 2 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số đối của mỗi số sau:$\frac{-8}{35};\frac{5}{-6};-\frac{18}{7};\mathrm{1,15};-\mathrm{21,54};-\sqrt{7};\sqrt{5}$.

Lời giải:

Số đối của $\frac{-8}{35}$ là $\frac{8}{35}$ vì $\frac{-8}{35}$ + $\frac{8}{35}$ = 0.

Số đối của $\frac{5}{-6}$ là $\frac{5}{6}$ vì $\frac{5}{-6}$ + $\frac{5}{6}$ = 0.

Số đối của $\frac{-18}{7}$ là $\frac{18}{7}$ vì $\frac{-18}{7}$ + $\frac{18}{7}$ = 0.

Số đối của 1,15 là –1,15 vì 1,15 + (–1,15) = 0.

Số đối của –21,54 là 21,54 vì (–21,54) + 21,54 = 0.

Số đối của $-\sqrt{7}$ là $\sqrt{7}$ vì $\left(-\sqrt{7}\right)+\sqrt{7}=0$.

Số đối của $\sqrt{5}$ là $-\sqrt{5}$ vì $\left(-\sqrt{5}\right)+\sqrt{5}=0$

Bài 3 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1:

a) –1,(81) và –1,812;

b) $2\frac{1}{7}$ và 2,142;

c) –48,075… và –48,275…;

d) $\sqrt{5}$ và $\sqrt{8}$

Lời giải:

a) Ta đi so sánh 1,(81) và 1,812

Ta có: 1,(81) = 1, 8181…

So sánh: 1,8181…và 1,812 ta thấy: Kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần nghìn.

Mà 8 > 2 nên 1,8181… > 1,812.

Do đó –1,8181… < –1,812 hay –1,(81) < –1,812.

b) Ta thấy $2\frac{1}{7}$ và 2,142 có phần nguyên giống nhau nên ta đi so sánh $\frac{1}{7}$ và 0,142.

Đặt tính 1 : 7 như sau:

Vậy $\frac{1}{7}=0,\mathrm{1428...}$ ta so sánh 0,1428… và 0,1420

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số hàng phần chục nghìn.

Mà 8 > 0 nên 0,1428… > 0,1420

Hay $\frac{1}{7}>0,142$ nên $2\frac{1}{7}>2,142$

c) Ta đi so sánh 48,075… và 48,275…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần mười.

Mà 0 < 2 nên 48,075… < 48,275…

Do đó –48,075… > –48,275…

d) Vì 8 > 5 > 0 nên $\sqrt{8}>\sqrt{5}$.

Bài 4 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm chữ số thích hợp cho $\boxed{?}$:

a) $-\mathrm{5,02}<-\mathrm{5,}\boxed{?}1$;

b) $-\mathrm{3,7}\boxed{?}8>-\mathrm{3,715}$;

c) $-\mathrm{0,5}\boxed{?}\left(742\right)<-\mathrm{0,59653}$;

d) $-\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)<-\mathrm{1,49}$.

Lời giải:

a) Vì $-\mathrm{5,02}<-\mathrm{5,}\boxed{?}1$ nên 5,02 > 5,$\boxed{?}$1 .

Ta thấy phần nguyên của hai số giống nhau nên $\boxed{?}$ phải điền là số 0 vì nếu là số lớn hơn 0 thì không thỏa mãn.

b) Vì $-\mathrm{3,7}\boxed{?}8>-\mathrm{3,715}$ nên 3,7$\boxed{?}$8 < 3,715.

Xét hai số 3,7$\boxed{?}$8 < 3,715: Ta thấy phần nguyên và hàng phần mười của hai số giống nhau; hàng phần nghìn có 8 > 5 nên hàng phần trăm của 3,7$\boxed{?}$8 phải nhỏ hơn hàng phần trăm của 3,715.

Do đó $\boxed{?}$ chỉ có thể là 0.

c) Vì $-\mathrm{0,5}\boxed{?}\left(742\right)<-\mathrm{0,59653}$ nên 0,5$\boxed{?}$(742) > 0,59653.

Xét 0,5$\boxed{?}$(742) > 0,59653: Ta thấy phần nguyên và hàng phần mười của hai số giống nhau nếu $\boxed{?}$ nhỏ hơn 9 thì 0,5$\boxed{?}$(742) < 0,58653 nên $\boxed{?}$ chỉ có thể là 9.

d) Vì $-\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)<-\mathrm{1,49}$ nên 1,$\left(4\boxed{?}\right)$ > 1,49

Ta có: $\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)=\mathrm{1,4}\boxed{?}4\boxed{?}\mathrm{...}$ ta thấy nếu $\boxed{?}$< 9 thì $\mathrm{1,}\left(4\boxed{?}\right)=\mathrm{1,4}\boxed{?}4\boxed{?}\mathrm{...}$< 1,49 nên $\boxed{?}$ chỉ có thể là 9.

Bài 5 trang 42 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

–2,63…; 3,(3); –2,75…; 4,62.

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:

1,371…; 2,065; 2,056…; –0,078…;1,(37).

Lời giải:

a) Ta chia thành hai nhóm để so sánh là nhóm số thập phân âm và nhóm số thập phân dương.

Nhóm 1: 3, (3); 4,62.

Nhóm 2: –2,63…; –2,75…

+) Ta đi so sáng nhóm 1: 3,(3); 4,62

So sánh 3,(3) = 3,33… và 4,62.

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng đơn vị.

Mà 3 < 4 nên 3,33… < 4,62.

+) Ta đi so sánh nhóm 2: –2,63…; –2,75….

So sánh 2,63… và 2,75…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần mười.

Mà 6 < 7 nên 2,63… < 2,75….

Do đó –2,63… > –2,75…

Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: –2,75…; –2,63…; 3,(3); 4,62.

b) Ta thấy số thập phân âm bé hơn số thập phân dương nên –0,078 nhỏ nhất

+) Ta so sánh 1,371… và 1,(37) = 1,3737…

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần nghìn.

Mà 3 > 1 nên 1,3737… > 1,371…

Do đó 1,(37) > 1,371….

+) Ta đi so sánh 2,065 và 2,056….

Kể từ trái sang phải, cặp số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp số hàng phần trăm.

Mà 6 > 5 nên 2,065 > 2,056…

Vì 2 > 1 nên ta sẽ có những số có phần nguyên là 2 sẽ lớn hơn những số có phần nguyên là 1.

Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần: 2,065; 2,056…; 1,(37); 1,371…; –0,078…

Lý thuyết Toán 7 Bài 2. Tập hợp R các số thực – Cánh diều

1. Tập hợp số thực

1.1 Số thực

- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

- Tập hợp các số thực được kí hiệu là ℝ.

Ví dụ: Các số 1,2 ; $\frac{-5}{3}$ ; $\sqrt{5}$ ; … là các số thực.

1.2 Biểu diễn thập phân của số thực

- Mỗi số thực là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ. Vì thế, mỗi số thực đều biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Ta có sơ đồ sau:

2. Biểu diễn số thực trên trục số

Tương tự như đối với số hữu tỉ, ta có thể biểu diễn mọi số thực trên trục số, khi đó điểm biểu diễn số thực x được gọi là điểm x.

Ví dụ: Biểu diễn các số thực sau trên trục số:

a) $\frac{-1}{2}$ và 2;

b) $\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

a) Số $\frac{-1}{2}$ và 2 là hai số hữu tỉ, vì thế để biểu diễn hai số này trên trục số ta thực hiện như cách biểu diễn một số hữu tỉ trên trục số.

b) Số $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ vì vậy để biểu diễn số $\sqrt{2}$ trên trục số ta làm như sau:

+ Vẽ một hình vuông với một cạnh là đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm gốc 0 và điểm 1. Khi đó, đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh bằng $\sqrt{2}$.

+ Vẽ một phần đường tròn tâm là điểm gốc 0, bán kính là $\sqrt{2}$, cắt trục số tại điểm A nằm bên phải gốc 0. Ta có OA = $\sqrt{2}$ và A là điểm biểu diễn $\sqrt{2}$.

Nhận xét:

- Không phải mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số hữu tỉ. Vậy các điểm biểu diễn số hữu tỉ không lấp đầy trục số.

- Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số; Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Vậy trục số còn được gọi là trục số thực.

3. Số đối của một số thực

- Trên trục số, hai số thực (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.

- Số đối của số thực a kí hiệu là – a.

- Số đối của số 0 là 0.

Nhận xét: Số đối của – a là số a, tức là –(–a) = a.

Ví dụ:

Số đối của số thực $\sqrt{2}$ là số thực $-\sqrt{2}$.

4. So sánh các số thực

4.1 So sánh hai số thực

Cũng như số hữu tỉ, trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

- Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta biết a < b hay b > a.

- Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

- Số 0 không phải là số thực dương cũng không phải số thực âm.

- Nếu a < b và b < c thì a < c.

4.2 Cách so sánh hai số thực

- Ta có thể so sánh hai số thực bằng cách biểu diễn thập phân mỗi số thực đó rồi so sánh hai số thập phân đó.

- Việc biểu diễn một số thực dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn) thường là phức tạp. Trong một số trường hợp ta dùng quy tắc: Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì $\sqrt{\mathrm{a}}>\sqrt{\mathrm{b}}$.

Ví dụ: So sánh các số thực sau:

a) –1,(27) và –1,272;

b) $\sqrt{7}$ và $\sqrt{8}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta viết –1,(27) = –1,27272727….. sau đó ta so sánh với –1,272.

Hai số –1,27272727… và –1,2720 có phần nguyên và đến hàng phần nghìn giống nhau, cặp chữ số khác nhau đầu tiên bắt đầu từ hàng phần chục nghìn.

Do 7 > 0 nên 1,27272727…..> 1,2720, suy ra –1,27272727…..< –1,2720.

Vậy –1,(27) < –1,272.

b) Ta có: 0 < 7 < 8 nên $\sqrt{7}$ < $\sqrt{8}$.

4.3 Minh họa trên trục số

Giả sử hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số nằm ngang. Ta có nhận xét sau :

- Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm bên trái điểm y;

- Ngược lại nếu điểm x nằm bên trái điểm y thì x < y hay y > x.

Đối với hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số thẳng đứng, ta cũng có nhận xét sau :

- Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm phía dưới điểm y;

- Ngược lại, nếu điểm x nằm phía dưới điểm y thì x < y hay y > x.

Ví dụ:

+ Vì $\frac{-3}{2}$ < –1 nên trên trục số nằm ngang, điểm $\frac{-3}{2}$ nằm bên trái điểm –1.

+ Điểm $\sqrt{2}$ nằm bên trái điểm $\sqrt{5}$, vì vậy $\sqrt{2}$ < $\sqrt{5}$.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Giá trị tuyệt đối của một số thực

Bài 4: Làm tròn số và ước lượng

Bài 5: Tỉ lệ thức

Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau

Bài 7: Đại lượng tỉ lệ thuận