Giải Toán 7 trang 115 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 7 trang 115 Tập 2

Bài 1 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, OA = OB = OC
KL	O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

Vì OA = OB (giả thiết) nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vì OA = OC (giả thiết) nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC nên O là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC.

Mà ba đường trung trực của tam giác luôn cùng đi qua một điểm.

Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC

Bài 2 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Lời giải:

Vì điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC nên điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Ta có hình vẽ sau:

 

b) Ta có hình vẽ sau:

 

c) Ta có hình vẽ sau:

 

Bài 3 trang 115 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, ba đường trung tuyến cắt nhau tại G, ba đường trung trực cắt nhau tại G
KL	Tam giác ABC đều.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

Vì G là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường trung tuyến (giả thiết)

Nên ba đường trung tuyến cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.

Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó AM $\perp$ BC tại trung điểm M của BC;

BN $\perp$ AC tại trung điểm N của AC;

CP $\perp$ AB tại trung điểm P của AB;

+) Xét tam giác ABM (vuông tại M) và tam giác ACM (vuông tại M) có:

MB = MC (M là trung điểm của BC),

AM là cạnh chung

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)

+) Xét tam giác BAN (vuông tại N) và tam giác BCN (vuông tại N) có:

NA = NC (N là trung điểm của AC),

BN là cạnh chung

Do đó $∆$BAN = $∆$BCN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BA = BC (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC

Do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 4 trang 115 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, ba đường phân giác cắt nhau tại I, ba đường trung trực cắt nhau tại I
KL	Tam giác ABC đều.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

Vì I là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường phân giác (giả thiết)

Nên ba đường phân giác cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.

Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó AM $\perp$BC tại trung điểm M của BC và AM là đường phân giác của $\widehat{BAC};$ 

BN $\perp$ AC tại trung điểm N của AC và BN là đường phân giác của $\widehat{ABC};$ 

CP $\perp$ AB tại trung điểm P của AB và CP là đường phân giác của $\widehat{ACB};$ 

+) Xét $∆$ABM (vuông tại M) và DACM (vuông tại M) có:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$),

AM là cạnh chung,

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)

+) Xét $∆$ABN (vuông tại N) và $∆$CBN (vuông tại N) có:

$\widehat{BAN}=\widehat{CBN}$ (do BN là đường phân giác của $\widehat{ABC}$),

BN là cạnh chung,

Do đó $∆$ABN = $∆$CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = CB (hai cạnh tương ứng) (1)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = AC

Do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Bài 5 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác. M là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) OM $\perp$ BC;

b) $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC, O nằm trong tam giác, M là trung điểm của BC
KL	a) OM $\perp$ BC; b) $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

a) Do ba đường trung trực trong tam giác đồng quy tại một điểm mà tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC (giả thiết).

Do đó đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua O.

Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OM $\perp$ BC.

Vậy OM $\perp$ BC.

b) Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên OB = OC (tính chất đường trung trực)

Xét $∆$OMB và $∆$OMC có:

OM là cạnh chung,

MB = MC (M là trung điểm của BC),

OB = OC (chứng minh trên)

Do đó $∆$OMB = $∆$OMC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$ (hai góc tương ứng).

Vậy $\widehat{MOB}=\widehat{MOC}$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 7 trang 112 Tập 2

Giải Toán 7 trang 113 Tập 2

Giải Toán 7 trang 114 Tập 2

Giải Toán 7 trang 115 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 3: Dung tích phổi

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ