Bài 4 trang 115 Toán 7 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Cánh diều Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 4 trang 115 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, ba đường phân giác cắt nhau tại I, ba đường trung trực cắt nhau tại I
KL	Tam giác ABC đều.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

Vì I là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường phân giác (giả thiết)

Nên ba đường phân giác cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.

Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó AM $\perp$BC tại trung điểm M của BC và AM là đường phân giác của $\widehat{BAC};$ 

BN $\perp$ AC tại trung điểm N của AC và BN là đường phân giác của $\widehat{ABC};$ 

CP $\perp$ AB tại trung điểm P của AB và CP là đường phân giác của $\widehat{ACB};$ 

+) Xét $∆$ABM (vuông tại M) và DACM (vuông tại M) có:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$),

AM là cạnh chung,

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)

+) Xét $∆$ABN (vuông tại N) và $∆$CBN (vuông tại N) có:

$\widehat{BAN}=\widehat{CBN}$ (do BN là đường phân giác của $\widehat{ABC}$),

BN là cạnh chung,

Do đó $∆$ABN = $∆$CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = CB (hai cạnh tương ứng) (1)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = AC

Do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 7 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Câu hỏi khởi động trang 112 Toán 7 Tập 2: Hình 121 minh họa biển giới thiệu quần thể di tích, danh thắng cấp Quốc gia núi Dũng Quyết và khu vực Phượng Hoàng Trung Đô...

Hoạt động 1 trang 112 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC như Hình 122. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng BC...

Luyện tập 1 trang 113 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung trực của tam giác ABC...

Hoạt động 2 trang 113 Toán 7 Tập 2: Quan sát các đường trung trực của tam giác ABC (Hình 126), cho biết ba đường trung trực...

Luyện tập 2 trang 114 Toán 7 Tập 2: Trong Hình 127, điểm O có phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC không...

Hoạt động 3 trang 114 Toán 7 Tập 2: Quan sát giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC (Hình 128) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng OA, OB, OC...

Bài 1 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm ba đường trung trực...

Bài 2 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong mỗi trường hợp sau: a) Tam giác ABC nhọn...

Bài 3 trang 115 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực...

Bài 4 trang 115 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC...

Bài 5 trang 115 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm O nằm trong tam giác...

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 3: Dung tích phổi

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ